ลำดับหนึ่งสอดคล้องกับ a(n) = 4a(n-1) - 4a(n-2) สำหรับจำนวนเต็ม n ตั้งแต่ 2 ขึ้นไป โดย a(0) = -2025 และ a(1) = 2026 ถ้า a(2025) = b คูณ 2^c เมื่อ b และ c เป็นค่าคงตัว จงหา b/c

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนสมการลักษณะเฉพาะ สำหรับความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงตัว การเดาว่า $a_n=r^n$ เปลี่ยนความสัมพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต แทนลงใน $a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0$ แล้วหารด้วย $r^{n-2}$

   $r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0\;\Longrightarrow\;r=2\ \text{(รากซ้ำสองชั้น)}$

2. 2

   ใช้รูปผลเฉลยทั่วไปสำหรับกรณีรากซ้ำ รากซ้ำสองชั้นให้ผลเฉลยแบบเรขาคณิตเพียงตัวเดียวคือ $2^n$ ผลเฉลยอิสระตัวที่สองจึงต้องพ่วงตัวประกอบ $n$ เข้ามา

   $a_n=(A+Bn)\,2^{n}$

   ขั้นนี้คือขั้นที่นักเรียนพลาดบ่อยที่สุด การเขียน $A\cdot 2^n+B\cdot 2^n$ จะยุบเหลือค่าคงตัวเดียว และจับคู่กับค่าเริ่มต้นอิสระสองค่าไม่ได้

3. 3

   ปรับให้เข้ากับเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสอง จาก $n=0$

   $a_0=(A+0)\cdot 2^0=A=-2025$

   จาก $n=1$

   $a_1=(A+B)\cdot 2=2026\;\Longrightarrow\;A+B=1013\;\Longrightarrow\;B=1013+2025=3038$

   ดังนั้น $a_n=(3038n-2025)\,2^{n}$ ตรวจเร็ว ๆ: $a_2=(6076-2025)\cdot4=16204$ และคำนวณตรง ๆ $4a_1-4a_0=4(2026)-4(-2025)=16204$ ตรงกัน

4. 4

   แทน $n=2025$ แล้วแยกตัวประกอบของสัมประสิทธิ์

   $a_{2025}=(3038\cdot 2025-2025)\,2^{2025}=2025\,(3038-1)\,2^{2025}=2025\cdot 3037\cdot 2^{2025}$

   การดึงตัวประกอบร่วม $2025$ ออกมา ก่อน คูณ คือสิ่งที่ทำให้ขั้นสุดท้ายสะอาด ถ้ากระจายก่อนจะได้ $6{,}149{,}925$ แล้วต้องเอามาหารด้วย $2025$ กลับอยู่ดี

5. 5

   อ่านค่า $b$ กับ $c$ แล้วหาร เทียบกับ $a_{2025}=b\cdot 2^{c}$ ได้ $b=2025\cdot3037=6{,}149{,}925$ และ $c=2025$ ดังนั้น

   $\frac{b}{c}=\frac{2025\cdot 3037}{2025}=3037$

   ตัวประกอบ $2025$ ตัดกันพอดี ซึ่งเป็นแก่นของวิธีที่โจทย์ถูกออกแบบมา คำตอบคือ $B-1=3037$