จงแก้อสมการ |a − 1| < |2a|

Step-by-step solution

1. 1

   อธิบายเหตุผลที่ยกกำลังสองได้ ทั้งสองข้างเป็นค่าสัมบูรณ์ จึงไม่เป็นลบทั้งคู่ และ $t\mapsto t^2$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเข้มบน $[0,\infty)$ การยกกำลังสองจึงเป็น ความสมมูล ไม่ใช่แค่การแจงว่าเป็นผลตามมา จะไม่มีคำตอบแปลกปลอมโผล่ขึ้นมา

   $(a-1)^2<(2a)^2$

   นี่คือข้อได้เปรียบหลักเมื่อเทียบกับการแยกกรณีตามการผสมเครื่องหมายทั้งสี่แบบ

2. 2

   กระจายแล้วย้ายมารวมข้างเดียว

   $a^2-2a+1<4a^2\;\Longrightarrow\;0<3a^2+2a-1$

   ดังนั้นเราต้องแก้ $3a^2+2a-1>0$

3. 3

   แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง มองหาคู่ตัวประกอบของ $3\cdot(-1)=-3$ ที่บวกกันได้ $2$ ได้แก่ $3$ กับ $-1$

   $3a^2+3a-a-1=3a(a+1)-1(a+1)=(3a-1)(a+1)$

   จุดวิกฤตจึงเป็น $a=-1$ และ $a=\tfrac13$

4. 4

   ใช้พาราโบลาหงายอ่านเครื่องหมาย สัมประสิทธิ์นำ $3$ เป็นบวก ดังนั้น $(3a-1)(a+1)$ เป็นบวก นอก รากทั้งสอง และเป็นลบระหว่างราก

   $a<-1\qquad\text{หรือ}\qquad a>\frac{1}{3}$

5. 5

   ทดสอบจุดละหนึ่งค่าในสามบริเวณ ที่ $a=-2$: $|-3|=3<|-4|=4$ $\checkmark$ ที่ $a=0$: $|-1|=1<|0|=0$ เป็นเท็จ $\checkmark$ (ถูกตัดออกอย่างถูกต้อง) ที่ $a=1$: $|0|=0<|2|=2$ $\checkmark$ จุดปลายถูกตัดออกเพราะตรงนั้นสองข้างเท่ากันพอดี