จงเขียน (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 ใหม่ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

Step-by-step solution

1. 1

   มองหารูปทรงก่อนลงมือคิดพีชคณิต สามพจน์นี้คือ อะไรบางอย่างยกกำลังสอง สองเท่าของสิ่งเดียวกันนั้น และ $1$ ซึ่งตรงกับรูปแบบกำลังสองสมบูรณ์พอดี

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

   การมองออกช่วยประหยัดการกระจายเป็น $4x^2 + 8x + 4$ แล้วต้องมาแยกตัวประกอบใหม่ทีหลัง

2. 2

   ตั้งชื่อให้ก้อนที่ซ้ำกัน ให้

   $A = 2x + 1$

   แล้วนิพจน์จะกลายเป็น $A^2 + 2A + 1$ ตรงตัว พจน์กลางต้องเป็น $2A$ พอดี (ไม่ใช่ $2$ คูณอย่างอื่น) รูปแบบนี้จึงจะใช้ได้ ในที่นี้ $2(2x+1) = 2A$ จริง

3. 3

   ใช้เอกลักษณ์แล้วแทนค่ากลับ

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = \bigl((2x+1) + 1\bigr)^2 = (2x+2)^2$

4. 4

   ดึงตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ สองพจน์ในวงเล็บมีตัวประกอบ $2$ ร่วมกัน

   $(2x+2)^2 = \bigl(2(x+1)\bigr)^2 = 4(x+1)^2$

   รูป $4(x+1)^2$ มักถือเป็นคำตอบสุดท้ายที่นิยมกว่า เพราะในวงเล็บถูกลดรูปจนหมดแล้ว

5. 5

   ตรวจด้วยการกระจายทั้งสองฝั่ง นิพจน์เดิมกระจายได้

   $(4x^2 + 4x + 1) + (4x + 2) + 1 = 4x^2 + 8x + 4$

   และคำตอบกระจายได้ $4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4$ ตรงกัน อีกทั้งลองสุ่มตรวจที่ $x = 3$ ได้ $49 + 14 + 1 = 64 = 4(4)^2$