จงทำให้ผลต่างของพหุนาม a^3b + 9a^2b^2 - 4ab^5 กับ a^3b - 3a^2b^2 + ab^5 อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด แล้วระบุว่าผลลัพธ์มีกี่พจน์และมีดีกรีเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนการลบพร้อมวงเล็บก่อนทำอย่างอื่น "ผลต่างของ $P$ กับ $Q$" หมายถึง $P-Q$ ตามลำดับนั้น และพหุนามตัวที่สองต้องอยู่ในวงเล็บ

   $\big(a^3b+9a^2b^2-4ab^5\big)-\big(a^3b-3a^2b^2+ab^5\big)$

   การลืมใส่วงเล็บแล้วลบเฉพาะพจน์แรกของ $Q$ คือความผิดพลาดอันดับหนึ่งของโจทย์ประเภทนี้ และมันเปลี่ยนทั้งจำนวนพจน์และดีกรีของคำตอบ

2. 2

   แจกเครื่องหมายลบเข้าไปทุกพจน์ของพหุนามตัวที่สอง เครื่องหมายพลิกทุกตัว

   $a^3b+9a^2b^2-4ab^5\;-\;a^3b\;+\;3a^2b^2\;-\;ab^5$

   สังเกตว่า $-(-3a^2b^2)=+3a^2b^2$ และ $-(+ab^5)=-ab^5$ คือเครื่องหมายเปลี่ยนไปสองในสามตัว นี่คือเหตุผลที่พจน์กลางจะ บวกกัน แทนที่จะตัดกัน

3. 3

   รวมพจน์ที่คล้ายกัน พจน์จะ "คล้ายกัน" ก็ต่อเมื่อทั้งสองตัวแปรมีเลขชี้กำลังเหมือนกันหมด

   $a^3b-a^3b=0$

   $9a^2b^2+3a^2b^2=12a^2b^2$

   $-4ab^5-ab^5=-5ab^5$

   ผลต่างในรูปอย่างง่ายที่สุดจึงเป็น

   $12a^2b^2-5ab^5$

   พจน์ $a^3b$ เหมือนกันทั้งสองพหุนาม จึงล้างกันหมด นั่นคือสิ่งที่ทำให้คำตอบลดจากสามพจน์เหลือสองพจน์

4. 4

   นับจำนวนพจน์: เป็นทวินาม หลังจัดรูปแล้วเหลือพจน์ที่ไม่คล้ายกันสองพจน์พอดี คือ $12a^2b^2$ กับ $-5ab^5$ ทั้งสองไม่ใช่พจน์คล้าย ($a^2b^2$ เทียบกับ $ab^5$) จึงรวมกันต่อไม่ได้ ผลลัพธ์จึงเป็น ทวินาม

5. 5

   หาดีกรีโดยบวกเลขชี้กำลังภายในแต่ละพจน์ แล้วเอาค่ามากที่สุด สำหรับพจน์ที่มีหลายตัวแปร ดีกรีคือ ผลบวก ของเลขชี้กำลัง ไม่ใช่เลขชี้กำลังตัวเดียวที่ใหญ่ที่สุด

   $\deg\!\left(12a^2b^2\right)=2+2=4,\qquad \deg\!\left(-5ab^5\right)=1+5=6$

   ดีกรีของพหุนามคือค่ามากสุดของสองค่านี้ จึงเป็น $6$ ความพลาดที่พบบ่อยคืออ่านดีกรีจากพจน์ แรก ซึ่งจะให้คำตอบผิดเป็น $4$ เพราะพจน์ในที่นี้ไม่ได้เรียงตามดีกรีจากมากไปน้อย

6. 6

   สรุป ผลต่างในรูปอย่างง่ายที่สุดคือ $12a^2b^2-5ab^5$ ซึ่งเป็น ทวินามดีกรี 6