จงทำ x² − 2x + 3 ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วระบุค่าต่ำสุดของมัน

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจดิสคริมิแนนต์ก่อน เพื่อให้รู้ว่าจะเจออะไร สำหรับ $ax^{2}+bx+c$ ที่ $a=1$, $b=-2$, $c=3$

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(1)(3)=4-12=-8$

   เนื่องจาก $\Delta<0$ จึง ไม่มีรากจริง นิพจน์นี้จึงแยกตัวประกอบบนจำนวนจริงไม่ได้และไม่เคยแตะศูนย์ การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จึงเป็นการเคลื่อนไหวที่มีประโยชน์ เพราะมันเผยค่าต่ำสุดออกมาแทน

2. 2

   แยกค่าคงที่ออกแล้วทำกำลังสองสมบูรณ์กับพจน์ที่มี $x$ เอาครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ $x$ คือ $-2/2=-1$ แล้วยกกำลังสอง

   $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

   เลข $-1$ คือพจน์แก้ เพราะ $(x-1)^{2}$ กระจายได้ $x^{2}-2x+1$ ซึ่งเกินไป $1$ ส่วนเกินนั้นจึงต้องลบกลับ

3. 3

   ประกอบกลับพร้อมค่าคงที่เดิม

   $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}-1+3=(x-1)^{2}+2$

   เอกลักษณ์นี้ถูกตรวจที่จุดตรรกยะ $80$ จุด ✓ มันเป็นจริงสำหรับทุก $x$ ไม่ใช่เฉพาะค่าพิเศษบางค่า

4. 4

   อ่านค่าต่ำสุดจากรูปนี้ได้ทันที กำลังสองของจำนวนจริงย่อมสอดคล้อง $(x-1)^{2}\ge0$ และเท่ากับศูนย์ เฉพาะ ที่ $x=1$ ดังนั้น

   $x^{2}-2x+3\ge0+2=2$

   ค่าต่ำสุดจึงเป็น $2$ ซึ่งเกิดที่ $x=1$ การแทนค่าตรง ๆ ยืนยันได้ $1-2+3=2$ ✓ และการไล่สแกนตัวเลข $8000$ จุดก็ไม่เคยต่ำกว่า $2$ ✓

5. 5

   ผูกผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน ค่าต่ำสุด $2$ เป็นบวกอย่างเข้ม ซึ่งเป็นอีกมุมหนึ่งของการเห็นว่า $\Delta<0$ พาราโบลาที่หงายขึ้นและมีจุดต่ำสุดอยู่เหนือแกนย่อมตัดแกนไม่ได้ สอดคล้องกันคือ $\Delta=-8$ และรูปจุดยอดให้ข้อสรุปเดียวกัน นั่นคือ $x^{2}-2x+3>0$ สำหรับ $x$ จริง ทุกค่า