จงแก้สมการ (x กำลังสอง บวก 4x ลบ 12) คูณ รากที่สองของ (x บวก 5) เท่ากับศูนย์ แล้วหาผลบวกของราก

Step-by-step solution

1. 1

   หาโดเมนก่อน ไม่ใช่ทีหลัง รากที่สองนิยามได้ก็ต่อเมื่อค่าใต้รากไม่เป็นลบ ดังนั้นก่อนจะแก้อะไรเลย

   $x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5$

   การทำข้อนี้ก่อนคือสิ่งที่กันไม่ให้รากแปลกปลอมแอบเข้าไปในผลบวกสุดท้าย

2. 2

   ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ ผลคูณเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ จึงต้องแก้ $x^2+4x-12=0$ และ $\sqrt{x+5}=0$ แยกกัน ผู้เริ่มต้นมักลืมกิ่งที่สอง เพราะรากที่เท่ากับศูนย์ไม่ได้ดูเหมือนสมการที่ต้องแก้

3. 3

   แก้ตัวประกอบที่เป็นพหุนามกำลังสอง

   $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-6 \ \text{ หรือ } \ x=2$

   แต่ $x=-6$ ไม่ผ่านโดเมน $x\ge-5$ จึงถูกตัดทิ้ง เหลือรอดเพียง $x=2$

4. 4

   แก้ตัวประกอบที่เป็นราก

   $\sqrt{x+5}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-5$

   ค่านี้อยู่บนขอบของโดเมนพอดี จึงใช้ได้จริง เพราะที่ $x=-5$ รากนิยามได้และมีค่าเท่ากับ $0$

5. 5

   รวบรวมรากแล้วบวกกัน เซตคำตอบคือ $\{-5,\ 2\}$ ดังนั้น

   $-5+2=-3$

6. 6

   ตรวจรากทั้งสองกับสมการเดิม ที่ $x=2$: $(4+8-12)\sqrt{7}=0\cdot\sqrt7=0$ ที่ $x=-5$: $(25-20-12)\sqrt{0}=(-7)(0)=0$ ทั้งคู่ให้ $0$ ส่วน $x=-6$ ทดสอบไม่ได้เลย เพราะ $\sqrt{-1}$ ไม่นิยามในระบบจำนวนจริง