จงแก้อสมการ |x² − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x² + 5x + 7

Step-by-step solution

1. 1

   แยกตัวประกอบนิพจน์ในค่าสัมบูรณ์เพื่อหาจุดหักให้ครบ เนื่องจาก $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ นิพจน์นี้เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x=2$ และ $x=3$ ส่วนค่าสัมบูรณ์ตัวที่สองเปลี่ยนที่ $x=4$ จุดหักสามจุดนี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสี่ช่วง

   $(-\infty,2),\quad [2,3),\quad [3,4),\quad [4,\infty)$

   ในแต่ละช่วง ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองกลายเป็นพหุนามธรรมดา และอสมการกลายเป็นอสมการกำลังสอง

2. 2

   กรณี $x<2$: นิพจน์ข้างในเป็นบวกและเป็นลบตามลำดับ ในช่วงนี้ $(x-2)(x-3)>0$ และ $x-4<0$ ข้างซ้ายจึงเป็น $x^2-5x+6-(x-4)=x^2-6x+10$ อสมการกลายเป็น

   $x^2-6x+10\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-11x+3\ge 0$

   รากของมันคือ $x=\dfrac{11\pm\sqrt{97}}{4}$ นั่นคือประมาณ $0.2878$ กับ $5.212$ พาราโบลาหงายมีค่าไม่เป็นลบนอกรากของมัน เมื่อตัดกับเงื่อนไข $x<2$ จะเหลือ

   $x\le\frac{11-\sqrt{97}}{4}$

3. 3

   กรณี $2\le x<3$: พหุนามกำลังสองข้างในกลับเครื่องหมาย ตอนนี้ $(x-2)(x-3)\le 0$ ดังนั้น $|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6$ และยังคง $|x-4|=4-x$ อสมการกลายเป็น

   $-x^2+4x-2\ge -x^2+5x+7$

   พจน์ $-x^2$ ตัดกันทั้งสองข้าง เหลือเงื่อนไขเชิงเส้น $-9\ge x$ ไม่มีจุดใดใน $[2,3)$ ที่สอดคล้องกับ $x\le -9$ กรณีนี้จึงว่างเปล่า

4. 4

   กรณี $3\le x<4$: กลับมาเป็นพหุนามกำลังสองที่เป็นบวก ในช่วงนี้ $|x^2-5x+6|=x^2-5x+6$ และ $|x-4|=4-x$ จึงได้อสมการเดียวกับกรณีที่ 1 คือ $2x^2-11x+3\ge 0$ ซึ่งมีเซตคำตอบ $x\le 0.2878$ หรือ $x\ge 5.212$ ไม่มีบริเวณใดตัดกับ $[3,4)$ กรณีนี้จึงว่างเปล่าเช่นกัน

5. 5

   กรณี $x\ge 4$: ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองถอดออกเป็นบวก ตอนนี้ $|x-4|=x-4$ ดังนั้น

   $x^2-4x+2\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-9x-5\ge 0$

   แยกตัวประกอบได้สวยงาม: $2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$ มีราก $x=-\tfrac12$ และ $x=5$ เอาบริเวณนอกรากตัดกับ $x\ge 4$ จะได้

   $x\ge 5$

6. 6

   ยูเนียนกรณีที่รอดมาแล้วสุ่มตรวจ

   $\left(-\infty,\ \frac{11-\sqrt{97}}{4}\right]\cup[5,\infty)$

   ในเชิงตัวเลข จุดปลายแรกคือ $0.28779$ ทดสอบดู: ที่ $x=0$ ข้างซ้ายเป็น $6+4=10$ และข้างขวาเป็น $7$ อสมการจึงเป็นจริง ✓ ที่ $x=1$ ได้ $2+3=5$ เทียบกับ $11$ ซึ่งเป็นเท็จ ✓ ที่ $x=5$ ทั้งสองข้างเท่ากับ $7$ จุดปลายจึงรวมอยู่ในคำตอบ ✓ ที่ $x=6$ ได้ $12+2=14$ เทียบกับ $1$ ✓