จงแก้อสมการประกอบ 3818 ≤ 499x − 20y < 4018 − 2734 ≤ 33x − 78y < −2534

Step-by-step solution

1. 1

   จัดรูปค่าคงที่ที่ฝังอยู่กลางโซ่ก่อน พจน์ $4018-2734$ ไม่ใช่นิพจน์ที่มีตัวแปรเลย จึงควรคิดให้เสร็จก่อนอย่างอื่น

   $4018-2734=1284$

   โซ่จึงอ่านได้เป็น

   $3818 \le 499x-20y < 1284 \le 33x-78y < -2534$

2. 2

   ระลึกว่าโซ่อสมการยืนยันอะไรกันแน่ โซ่ที่เขียนว่า $p \le q < r \le s < t$ เป็นการเขียนย่อของการที่การเปรียบเทียบของคู่ที่อยู่ติดกัน ทุกคู่ เป็นจริงพร้อมกัน โซ่นี้จึงยืนยันเงื่อนไขสี่ข้อพร้อมกัน

   $3818 \le 499x-20y,\qquad 499x-20y < 1284,$
   $1284 \le 33x-78y,\qquad 33x-78y < -2534$

   นี่คือเหตุผลที่ต้องเอาค่าคงที่มาเทียบกันเองด้วย ไม่ใช่แค่แก้แต่ละชิ้นหา $x$ กับ $y$

3. 3

   เอาสองข้อแรกมาเทียบกัน ทั้งสองข้อควบคุมปริมาณเดียวกันคือ $499x-20y$

   $3818 \le 499x-20y < 1284$

   ข้อนี้ต้องการจำนวนหนึ่งที่ไม่น้อยกว่า $3818$ และน้อยกว่า $1284$ อย่างเข้มพร้อมกัน เนื่องจาก $3818 > 1284$ จึงไม่มีค่าจริงใดของ $499x-20y$ ทำได้ ช่วง $[3818,\,1284)$ เป็นเซตว่าง

4. 4

   เอาสองข้อหลังมาเทียบกันด้วยวิธีเดียวกัน ทั้งสองข้อควบคุม $33x-78y$

   $1284 \le 33x-78y < -2534$

   อีกครั้งที่ขอบล่างมากกว่าขอบบน เพราะ $1284 > -2534$ ช่วง $[1284,\,-2534)$ จึงเป็นเซตว่างเช่นกัน

5. 5

   สรุปว่าเซตคำตอบเป็นเซตว่าง โซ่นี้มีสองส่วนที่ขัดแย้งในตัวเองอย่างเป็นอิสระต่อกัน จึงไม่มีการเลือก $x$ กับ $y$ แบบใดที่ทำให้ข้อความทั้งหมดเป็นจริง ไม่เหลืออะไรให้แก้อีก

   $\{(x,y)\}=\varnothing$

   นิสัยที่มีประโยชน์ตรงนี้คือ เมื่อใดที่อสมการประกอบถูกเขียนเป็นโซ่ยาวเส้นเดียว ให้อ่านขอบที่เป็นค่าคงที่ก่อน ถ้ามีขอบล่างใดมากกว่าขอบบนที่อยู่ทางขวาของมัน ก็จบได้ทันที ไม่ต้องคิดพีชคณิตกับ $x$ และ $y$ เลย