จงแก้สมการ |x| + |x − 1| = 3

Step-by-step solution

1. 1

   หาจุดหักก่อน ค่าสัมบูรณ์แต่ละตัวเปลี่ยนสูตรตรงที่นิพจน์ข้างในเป็นศูนย์ คือ $x=0$ สำหรับ $|x|$ และ $x=1$ สำหรับ $|x-1|$ สองจุดนี้ตัดเส้นจำนวนออกเป็น $x<0$, $0\le x<1$ และ $x\ge 1$ ภายในแต่ละช่วง ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองตัวแทนได้ด้วยนิพจน์เชิงเส้นธรรมดา ซึ่งคือจุดประสงค์ทั้งหมดของการแยกกรณี

2. 2

   กรณีที่ 1: $x<0$ นิพจน์ข้างในเป็นลบทั้งคู่ ดังนั้น $|x|=-x$ และ $|x-1|=1-x$

   $-x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ -2x+1=3\ \Longrightarrow\ x=-1$

   จากนั้นตรวจเงื่อนไขของกรณี: $-1<0$ ✓ ดังนั้น $x=-1$ เป็นคำตอบจริง

3. 3

   กรณีที่ 2: $0\le x<1$ ในช่วงนี้ $|x|=x$ แต่ $|x-1|=1-x$

   $x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ 1=3$

   พจน์ $x$ ตัดกันหมดและข้อความที่เหลือเป็นเท็จ ช่วงนี้จึงไม่ให้คำตอบใดเลย ในเชิงเรขาคณิต $|x|+|x-1|$ คือระยะทางรวมจาก $x$ ไปยัง $0$ และไปยัง $1$ ซึ่งเท่ากับ $1$ พอดีทุกจุดที่อยู่ระหว่างสองจุดนั้น จึงไม่มีทางไปถึง $3$ ได้

4. 4

   กรณีที่ 3: $x\ge 1$ นิพจน์ข้างในไม่เป็นลบทั้งคู่ ดังนั้น $|x|=x$ และ $|x-1|=x-1$

   $x+(x-1)=3\ \Longrightarrow\ 2x=4\ \Longrightarrow\ x=2$

   ตรวจเงื่อนไข: $2\ge 1$ ✓ ดังนั้น $x=2$ ใช้ได้

5. 5

   ต้องตรวจค่าที่ได้กับเงื่อนไขของกรณีตัวเองเสมอ ความผิดพลาดมาตรฐานของโจทย์แบบนี้คือการเก็บค่าที่แก้สมการของกรณีหนึ่งได้ แต่ตัวมันกลับไปตกอยู่ในอีกช่วงหนึ่ง ค่าที่รอดมาทั้งสองผ่านเงื่อนไข และการแทนค่ากลับก็ยืนยันเช่นกัน: $|-1|+|-2|=1+2=3$ ✓ และ $|2|+|1|=2+1=3$ ✓

6. 6

   เขียนเซตคำตอบ $x=-1$ หรือ $x=2$ การตีความเชิงระยะทางอธิบายได้ว่าทำไมจึงมีพอดีสองค่า เพราะเราต้องการระยะทางรวมจากคู่จุด $\{0,1\}$ เท่ากับ $3$ ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดเดียวในแต่ละข้างของส่วนของเส้นตรงนั้น