จงใช้การแยกตัวประกอบแก้สมการ (2x − 1)(2x − 1) − x × x = 0

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนผลคูณที่ซ้ำกันให้เป็นกำลังสอง ตัวประกอบสองตัวที่เหมือนกัน และ $x$ สองตัวที่เหมือนกัน ก็คือกำลังสองที่เขียนแบบยืดออกมา:

   $(2x-1)(2x-1) - x \cdot x = (2x-1)^2 - x^2 = 0$

   การมองเห็นกำลังสองคือเคล็ดลับทั้งหมดของโจทย์นี้ จะกระจายให้เป็น $3x^2 - 4x + 1$ ก็ได้เหมือนกัน แต่จะทิ้งโครงสร้างไป

2. 2

   จับคู่กับรูปแบบผลต่างกำลังสอง เอกลักษณ์คือ

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   โดยให้ $a = 2x - 1$ และ $b = x$ สังเกตว่า $a$ เองเป็นทวินาม ซึ่งไม่เป็นปัญหา รูปแบบนี้สนใจเพียงว่าแต่ละพจน์เป็นกำลังสองสมบูรณ์เท่านั้น

3. 3

   ใช้รูปแบบแล้วจัดรูปแต่ละวงเล็บ

   $(2x-1)^2 - x^2 = \big[(2x-1) - x\big]\big[(2x-1) + x\big]$

   $(2x-1) - x = x - 1, \qquad (2x-1) + x = 3x - 1$

   $\Longrightarrow \quad (x - 1)(3x - 1) = 0$

   ถ้ากระจายกลับจะได้ $3x^2 - 4x + 1$ ซึ่งตรงกับการกระจายนิพจน์เดิม

4. 4

   ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ ผลคูณจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์:

   $x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1$

   $3x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{3}$

5. 5

   ตรวจรากทั้งสองในรูปเดิม สำหรับ $x = 1$: $(2-1)^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$ สำหรับ $x = \tfrac13$: $\left(\tfrac23 - 1\right)^2 - \left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0$ ใช้ได้ทั้งคู่ เซตคำตอบจึงเป็น $\left\{1, \tfrac13\right\}$