จงแก้สมการ |(2x − 3)/7| = (1/2)·|(x + 3)/4|

Step-by-step solution

1. 1

   ย้ายค่าคงตัวที่เป็นบวกออกนอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ เนื่องจาก $|A/c| = |A|/c$ เมื่อ $c > 0$ จะได้

   $\frac{|2x-3|}{7} = \frac12\cdot\frac{|x+3|}{4} = \frac{|x+3|}{8}$

   ตัวส่วน $7$ กับ $4$ และตัวประกอบ $\tfrac12$ ล้วนเป็นบวก จึงไม่ต้องคอยตามเครื่องหมายของมัน

2. 2

   กำจัดตัวส่วน คูณทั้งสองข้างด้วย $56$ (ค.ร.น. ของ $7$ กับ $8$)

   $8|2x-3| = 7|x+3|$

   ตอนนี้สมการไม่มีเศษส่วนแล้ว เหลือเพียงจำนวนเต็มอยู่นอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ทั้งสองก้อน

3. 3

   ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้อย่างปลอดภัย ทั้งสองข้างไม่เป็นลบ การยกกำลังสองจึงย้อนกลับได้ในที่นี้ และไม่ทำให้เกิดรากแปลกปลอม

   $64(2x-3)^2 = 49(x+3)^2$

4. 4

   กระจายแล้วรวมให้เป็นสมการกำลังสอง

   $64\left(4x^2-12x+9\right) = 49\left(x^2+6x+9\right)$

   $256x^2 - 768x + 576 = 49x^2 + 294x + 441$

   $207x^2 - 1062x + 135 = 0 \quad \xrightarrow{\ \div 9\ } \quad 23x^2 - 118x + 15 = 0$

5. 5

   แก้สมการกำลังสอง โดยที่ $a = 23$, $b = -118$, $c = 15$

   $\Delta = 118^2 - 4(23)(15) = 13924 - 1380 = 12544 = 112^2$

   $x = \frac{118 \pm 112}{46} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{230}{46} = 5 \quad \text{หรือ} \quad x = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$

   การที่ดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์เป็นสัญญาณว่าโจทย์ถูกออกแบบมาให้ได้คำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ

6. 6

   ตรวจรากทั้งสองในสมการเดิม เมื่อ $x = 5$ ได้ $\left|\tfrac{7}{7}\right| = 1$ และ $\tfrac12\left|\tfrac{8}{4}\right| = 1$ เมื่อ $x = \tfrac{3}{23}$ ได้ $\left|\tfrac{-63/23}{7}\right| = \tfrac{9}{23}$ และ $\tfrac12\left|\tfrac{72/23}{4}\right| = \tfrac{9}{23}$ ตรงกันพอดีทั้งคู่ เซตคำตอบจึงเป็น $\left\{5,\ \tfrac{3}{23}\right\}$