แก้สมการ 2ˣ + x = 5 หาค่า x

Step-by-step solution

1. 1

   ยอมรับก่อนว่าไม่มีรูปปิด ตัวไม่ทราบค่าปรากฏทั้งในเลขชี้กำลังและในพจน์เชิงเส้น ลอการิทึมแยกทั้งสองออกจากกันไม่ได้ การใส่ $\ln$ ให้ $2^{x}+x$ ไม่ทำให้อะไรง่ายขึ้น เพราะลอการิทึมของผลบวกไม่เท่ากับผลบวกของลอการิทึม ทางที่ตรงไปตรงมาจึงเป็นวิธีเชิงตัวเลข

2. 2

   ยืนยันว่ามีรากเดียวและขังรากไว้ ให้ $f(x)=2^{x}+x-5$ ทั้ง $2^{x}$ และ $x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเข้ม ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเข้มและตัดศูนย์ได้ไม่เกินหนึ่งครั้ง เมื่อคำนวณค่า:

   $f(1)=2+1-5=-2<0,\qquad f(2)=4+2-5=1>0$

   การเปลี่ยนเครื่องหมายบนฟังก์ชันต่อเนื่องรับประกันว่ามีรากใน $(1,2)$ และความเป็นฟังก์ชันเพิ่มรับประกันว่ามันเป็นรากเดียว

3. 3

   บีบช่วงให้แคบลงด้วยการทดสอบค่า

   $f(1.5)=2^{1.5}+1.5-5\approx2.8284+1.5-5=-0.6716<0$

   $f(1.7)\approx3.2490+1.7-5=-0.0510<0,\qquad f(1.72)\approx3.2943+1.72-5=+0.0143>0$

   รากจึงอยู่ระหว่าง $1.70$ กับ $1.72$ และใกล้ $1.72$ อยู่แล้ว

4. 4

   แบ่งครึ่งช่วงจนลู่เข้า แบ่งครึ่งช่วง $[1.7,1.72]$ ซ้ำ ๆ แล้วเก็บครึ่งที่เครื่องหมายเปลี่ยนไว้ จะลู่เข้าสู่

   $x\approx1.7156207$

   ตรวจ: $2^{1.7156207}+1.7156207=5.0000000$ คลาดเคลื่อนไม่เกิน $10^{-6}$ ✓

5. 5

   ปัดเศษอย่างระวัง ทศนิยมตำแหน่งที่สามมีผล ที่ทศนิยมสามตำแหน่ง รากคือ $x\approx1.716$ ไม่ใช่ $1.717$ เพราะแทน $1.717$ จะได้ $2^{1.717}+1.717\approx5.00452$ ซึ่งเกิน $5$ ไปราว $0.004$ เนื่องจาก $f$ ไต่ขึ้นราว $3.28$ ต่อหนึ่งหน่วยบริเวณใกล้ราก ความคลาดเคลื่อน $0.001$ ใน $x$ จึงเลื่อน $f$ ไปราว $0.003$ ซึ่งมองเห็นได้ การเก็บทศนิยมเพิ่มอีกตำแหน่งจึงคุ้มค่า