เซตคำตอบของอสมการกำลังสอง ax^2 + bx + 1 > 0 คือช่วง -1 < x < 2 จงหาค่าของ ab

Step-by-step solution

1. 1

   ใช้รูปร่างของเซตคำตอบตรึงเครื่องหมายของ $a$ พาราโบลาจะเป็นบวก ระหว่าง รากของมันได้ก็ต่อเมื่อคว่ำลงเท่านั้น ในโจทย์นี้เซตคำตอบเป็นช่วงจำกัด $(-1,2)$ คือนิพจน์เป็นบวกเฉพาะระหว่างจำนวนสองจำนวน ดังนั้น

   $a<0,$

   และ $x=-1$ กับ $x=2$ ต้องเป็นรากทั้งสองของ $ax^{2}+bx+1=0$ (จุดปลายช่วง ซึ่งเป็นจุดที่อสมการเข้มงวดเพิ่งจะไม่เป็นจริง)

2. 2

   สร้างพหุนามกำลังสองขึ้นใหม่จากรากของมัน พหุนามกำลังสองใด ๆ ที่มีราก $-1$ และ $2$ ย่อมเป็นพหุคูณของ $(x+1)(x-2)$ ดังนั้น

   $ax^{2}+bx+1=k(x+1)(x-2)=k\left(x^{2}-x-2\right)=kx^{2}-kx-2k$

   สำหรับ $k<0$ บางค่า (เครื่องหมายของ $k$ คือเครื่องหมายของ $a$)

3. 3

   ตรึงค่า $k$ ด้วยพจน์ค่าคงตัว ขั้นนี้คือสิ่งที่ทำให้โจทย์แก้ได้ พหุนามที่โจทย์ให้มามีพจน์ค่าคงตัวเป็น $1$ พอดี ซึ่งเป็นตัวที่กำจัดตัวประกอบมาตราส่วนอิสระออกไป เทียบพจน์ค่าคงตัวกัน

   $-2k=1\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2},$

   ซึ่งสอดคล้องกับ $k<0$ จริง ตรงกับขั้นที่ 1

4. 4

   อ่านค่า $a$ และ $b$ ออกมา แทน $k=-\tfrac12$

   $ax^{2}+bx+1=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2},\ \ b=\frac{1}{2}.$

5. 5

   คำนวณ $ab$ แล้วตรวจกับอสมการเดิม

   $ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$

   ตรวจ: $-\tfrac12x^{2}+\tfrac12x+1>0$ สมมูลกับ (คูณด้วย $-2$ พร้อมกลับเครื่องหมาย) $x^{2}-x-2<0$ นั่นคือ $(x+1)(x-2)<0$ ซึ่งมีคำตอบเป็น $-1<x<2$ พอดี ลองแทนค่าตรวจก็ยืนยัน: ที่ $x=0$ นิพจน์เท่ากับ $1>0$ ที่ $x=\pm$ จุดปลายทั้งสองเท่ากับ $0$ และที่ $x=3$ เท่ากับ $-2<0$