จงแก้อสมการ |x − 1| / (x² − 4) ≥ 0

Step-by-step solution

1. 1

   เริ่มจากโดเมน ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

   $x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\ \Longrightarrow\ x\neq 2,\ x\neq -2$

   สองจุดนี้ไม่มีทางปรากฏในคำตอบ ไม่ว่าการวิเคราะห์ส่วนที่เหลือจะบอกอะไรก็ตาม

2. 2

   ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเศษมีเครื่องหมายตายตัว สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ เรามี $|x-1|\ge 0$ และมันเท่ากับ $0$ เฉพาะที่ $x=1$ เท่านั้น ตัวเศษจึงไม่มีทางทำให้เศษส่วนเป็นลบได้ เครื่องหมายของผลหารถูกกำหนดโดยตัวส่วนทั้งหมด ยกเว้นที่จุดเดียวที่ตัวเศษเป็นศูนย์

3. 3

   กรณี ก: เศษส่วนเป็นบวกอย่างเข้ม ต้องมี $|x-1|>0$ (คือ $x\neq 1$) ควบคู่กับ $x^2-4>0$ เมื่อแยกตัวประกอบ $(x-2)(x+2)>0$ เป็นจริงเมื่อตัวประกอบทั้งสองเป็นลบทั้งคู่หรือเป็นบวกทั้งคู่

   $x<-2\quad\text{หรือ}\quad x>2$

   เนื่องจาก $x=1$ ไม่อยู่ในบริเวณใดเลย ทั้ง $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ จึงใช้ได้ทั้งหมด

4. 4

   กรณี ข: เศษส่วนเท่ากับศูนย์พอดี ผลหารเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

   $|x-1|=0\Rightarrow x=1,\qquad 1^2-4=-3\neq 0\ \checkmark$

   เนื่องจากอสมการเป็น $\ge 0$ ไม่ใช่ $>0$ จุดเดียวนี้ เป็น คำตอบ ถึงแม้มันจะอยู่ภายในช่วง $(-2,2)$ ซึ่งเศษส่วนเป็นลบตลอดในที่อื่น

5. 5

   ตัดส่วนที่เหลือของ $(-2,2)$ ทิ้ง ในช่วงนั้น $x^2-4<0$ ขณะที่ $|x-1|>0$ เศษส่วนจึงเป็นลบอย่างเข้ม เช่นที่ $x=0$ ได้ $\tfrac{1}{-4}=-0.25$ ทุกจุดใน $(-2,2)$ ยกเว้น $x=1$ จึงไม่ผ่าน

6. 6

   รวมทุกกรณีเข้าด้วยกัน

   $(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,\infty)$

   วงเล็บปีกกาที่ครอบ $1$ ไว้เดี่ยว ๆ ไม่ใช่การพิมพ์ผิด จุดโดดเดี่ยวในเซตคำตอบคือสิ่งที่เครื่องหมาย "$\ge$" สร้างขึ้นพอดี เมื่อตัวเศษที่ไม่เป็นลบมีศูนย์อยู่ภายในบริเวณที่เป็นลบ