แก้สมการ 32log₃(x − 5) = 49 หาค่า x

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุโดเมนก่อนลงมือแก้ ลอการิทึมต้องการอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกอย่างเข้ม ดังนั้น

   $x-5>0\qquad\Longrightarrow\qquad x>5$

   คำตอบที่เป็นไปได้ทุกค่าต้องผ่านเกณฑ์นี้ การเขียนข้อจำกัดไว้ก่อนคือสิ่งที่ทำให้การตรวจตอนท้ายมีความหมาย ไม่ใช่แค่ทำตามพิธี

2. 2

   แยกลอการิทึมออกมา หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ $32$:

   $\log_3(x-5)=\frac{49}{32}$

   การปล่อยข้างขวาไว้เป็นเศษส่วนแบบแน่นอน $\tfrac{49}{32}=1.53125$ ช่วยให้คำตอบยังแน่นอนอยู่

3. 3

   แปลงเป็นรูปเลขชี้กำลัง ความสมมูลที่นิยามลอการิทึมคือ

   $\log_b(A)=c\iff A=b^{\,c}$

   ในที่นี้ $b=3$, $A=x-5$, $c=\tfrac{49}{32}$ ดังนั้น

   $x-5=3^{49/32}$

4. 4

   แก้หา x บวก $5$:

   $x=5+3^{49/32}$

   นี่คือคำตอบแบบแน่นอน จัดรูปต่อไม่ได้อีกแล้ว เพราะ $\tfrac{49}{32}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม และ $49$ กับ $32$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกับ $3$

5. 5

   คำนวณเชิงตัวเลขแล้วยืนยันโดเมน เนื่องจาก $3^{49/32}=3^{1.53125}=5.37764$ จึงได้

   $x=5+5.37764=10.37764$

   ตรวจขนาดคร่าว ๆ: $3^{1.5}=\sqrt{27}\approx5.196$ และ $3^{1.53125}$ ควรมากกว่านั้นเล็กน้อย ซึ่งก็เป็นเช่นนั้น ✓ และ $x\approx10.378>5$ ลอการิทึมจึงนิยามได้ คำตอบใช้ได้

6. 6

   ตรวจด้วยการแทนกลับ เมื่อ $x=10.3776424$: $x-5=5.3776424$ และ $\log_3(5.3776424)=\dfrac{\ln 5.3776424}{\ln 3}=1.531250$ ดังนั้น $32\times1.53125=49.0000$ ✓