ในระบบสมการ y = 2x^2 - 21x + 64 และ y = 3x + a เมื่อ a เป็นค่าคงตัว กราฟทั้งสองตัดกันที่จุด (x, y) เพียงจุดเดียว จงหาค่าของ x

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนเงื่อนไขการตัดกันให้เป็นสมการเดียว จุดหนึ่งอยู่บนกราฟทั้งสองเมื่อค่า $y$ จากสองนิพจน์ตรงกัน จึงให้ทั้งสองเท่ากัน

   $2x^2-21x+64=3x+a$

   ทุกจุดตัดสมนัยกับคำตอบของสมการนี้ และในทางกลับกันก็เช่นเดียวกัน

2. 2

   ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวกัน รวมพจน์เข้าด้วยกันได้สมการกำลังสองในรูปมาตรฐาน

   $2x^2-21x-3x+64-a=0$

   $2x^2-24x+(64-a)=0$

   ค่าคงตัว $a$ ที่ไม่รู้ค่าปรากฏอยู่เฉพาะในพจน์ค่าคงตัวเท่านั้น ข้อสังเกตนี้คือสิ่งที่ทำให้โจทย์สั้นลง

3. 3

   แปล 'ตัดกันจุดเดียวพอดี' เป็น 'มีรากเดียวพอดี' สมการกำลังสองมีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียวก็ต่อเมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์

   $\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4(2)(64-a)=0$

   ในเชิงเรขาคณิต นี่คือข้อความว่าเส้นตรงสัมผัสพาราโบลา แทนที่จะตัดสองจุดหรือไม่ตัดเลย

4. 4

   ใช้ทางลัด: รากซ้ำอยู่ที่จุดยอดของพาราโบลาพอดี เมื่อ $\Delta=0$ รากทั้งสองทับกันที่ค่าเฉลี่ยของมันคือ $x=-\dfrac{b}{2a}$ ในที่นี้ $b=-24$ และสัมประสิทธิ์นำเท่ากับ $2$ ดังนั้น

   $x=\frac{24}{2\cdot 2}=6$

   สังเกตว่า $a$ ไม่ได้เข้ามาในการคำนวณนี้เลย มันแค่เลื่อนพจน์ค่าคงตัว ซึ่งไม่ได้ขยับแกนสมมาตร นั่นคือเหตุผลที่โจทย์ถามหา $x$ ได้โดยไม่ต้องบอกค่า $a$

5. 5

   หาค่า $a$ ถ้าอยากเห็นการสัมผัสอย่างชัดเจน แก้ $\Delta=0$

   $576-8(64-a)=0\;\Longrightarrow\;576-512+8a=0\;\Longrightarrow\;a=-8$

   สมการกำลังสองกลายเป็น $2x^2-24x+72=2(x-6)^2=0$ ยืนยันรากซ้ำ $x=6$

6. 6

   ตรวจจุดตัดเพียงจุดเดียว เมื่อ $x=6$ พาราโบลาให้ $2(36)-21(6)+64=72-126+64=10$ และเส้นตรงให้ $3(6)-8=10$ เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด $(6,10)$ และเนื่องจากดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ทั้งสองจึงไม่พบกันที่ใดอีก

   $\boxed{x=6}$