จงแก้สมการ x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   เดาขนาดของรากก่อนคำนวณ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ใหญ่มหาศาลเมื่อเทียบกับตัวอื่น รากหนึ่งจึงต้องอยู่ใกล้ $245.711$ (มันตัวเดียวแทบจะสมดุลกับพจน์กำลังสามได้) และอีกสองรากต้องเล็กจิ๋ว ราว ๆ รากของสมการที่เกือบเป็นกำลังสอง $-245.711x^{2}+2.764156x+0.057072\approx 0$ การคาดว่าขนาดจะกระจายกันถึง $10^{4}$ เท่า บอกได้ว่าการตรวจแบบใดจะไวและแบบใดจะไม่ไว

2. 2

   หารากตัวใหญ่ เมื่อ $x$ ใกล้ $245.711$ พหุนามกำลังสามถูกครอบงำโดย $x^{2}(x-245.711)$ และการวนซ้ำแบบนิวตันจาก $x_{0}=245.7$ ลู่เข้าทันทีสู่

   $x_{3}=245.6997489169$

3. 3

   หารากเล็กสองตัวจากการเปลี่ยนเครื่องหมาย เมื่อหาค่า $f$ ใกล้ศูนย์ $f(-0.011)<0$, $f(0)=0.057072>0$, $f(0.022)<0$ จึงมีรากหนึ่งใน $(-0.011,0)$ และอีกรากใน $(0,0.022)$ การวนซ้ำแบบนิวตันด้วยเลขนัยสำคัญ 50 หลักให้

   $x_{1}=-0.0106203880,\qquad x_{2}=0.0218714711$

4. 4

   ตรวจด้วยการแทนค่า ไม่ใช่ด้วยเวียตาเพียงอย่างเดียว นี่คือกลไกป้องกันที่สำคัญที่สุด ผลบวกของรากต้องเป็น $245.711$ และผลคูณต้องเป็น $-0.057072$ แต่รากตัวใหญ่ครอบงำผลบวกจนหมด รากเล็กที่ผิดก็ยังดูเหมือนผ่านได้ คู่ที่ผิด $-0.0150152414,\ 0.0262657963$ ผ่านการตรวจผลบวกแบบเวียตาถึงทศนิยมสี่ตำแหน่ง (แต่ผลคูณของมัน $-0.09690$ พลาดไปไกล) ทว่าเมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงใน $f$ จะได้ $-0.0398$ ไม่ใช่ $0$

5. 5

   ยืนยันรากแต่ละตัวโดยตรง เมื่อแทนค่าที่ถูกต้องลงไป $f(x_{1})$, $f(x_{2})$ และ $f(x_{3})$ ต่ำกว่า $10^{-40}$ ทั้งหมดในเลขคณิต 50 หลัก ✓ มีเพียงการแทนค่าลงในพหุนามเดิมเท่านั้นที่แยกรากจริงออกจากค่าที่ดูน่าเชื่อแต่เฉียดไป

6. 6

   เขียนรากทั้งสาม

   $x\approx-0.0106203880,\qquad x\approx 0.0218714711,\qquad x\approx 245.6997489169$

   ทั้งสามเป็นจำนวนจริง ซึ่งตรงกับที่ดิสคริมิแนนต์เป็นบวก พหุนามกำลังสามตัดแกนสามครั้ง โดยสองครั้งอยู่ห่างจากจุดกำเนิดไม่ถึงหนึ่งในร้อย