แก้อสมการ 2 < |x + 1| ≤ 3

Step-by-step solution

1. 1

   แยกอสมการที่ประกบสองข้างออกเป็นสองเงื่อนไข อสมการคู่ที่คร่อมค่าสัมบูรณ์ที่จริงคืออินเตอร์เซกชัน:

   $|x+1|>2\qquad\textbf{และ}\qquad |x+1|\le3$

   สองเงื่อนไขนี้ทำงานตรงข้ามกัน คือ มากกว่า จะเปิดออกด้านนอก ส่วน น้อยกว่า จะปิดเข้าด้านใน จึงต้องแก้แยกกันแล้วค่อยนำมาอินเตอร์เซกชัน

2. 2

   แก้ส่วนที่เป็นมากกว่า $|A|>c$ (เมื่อ $c>0$) หมายถึง $A>c$ หรือ $A<-c$:

   $x+1>2\ \text{หรือ}\ x+1<-2\qquad\Longrightarrow\qquad x>1\ \text{หรือ}\ x<-3$

   นี่คือยูเนียนของรังสีสองเส้น ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ไกลจาก $-1$

3. 3

   แก้ส่วนที่เป็นไม่เกิน $|A|\le c$ หมายถึง $-c\le A\le c$:

   $-3\le x+1\le3\qquad\Longrightarrow\qquad -4\le x\le2$

   นี่คือแถบเดียว ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ใกล้ $-1$

4. 4

   อินเตอร์เซกชันผลทั้งสอง ทีละชิ้น นำรังสีแต่ละเส้นมาตัดกับแถบ:

   • $x>1$ ตัดกับ $-4\le x\le2$ ได้ $1<x\le2$
   • $x<-3$ ตัดกับ $-4\le x\le2$ ได้ $-4\le x<-3$
5. 5

   อ่านคำตอบในความหมายของระยะทาง $|x+1|$ คือระยะจาก $x$ ไปยัง $-1$ อสมการจึงถามหาจุดที่อยู่ห่างมากกว่า $2$ แต่ไม่เกิน $3$ เป็นวงแหวนบนเส้นจำนวน แต่ละฝั่งให้ช่วงที่มีความยาว $1$ มาหนึ่งช่วง:

   $[-4,-3)\cup(1,2]$

   สังเกตรูปแบบของวงเล็บ: ปิดที่ปลายด้านนอก (มาจาก $\le3$) และเปิดที่ปลายด้านใน (มาจากเครื่องหมาย $>2$ แบบเข้ม)

6. 6

   ตรวจด้วยการกวาดค่า เมื่อทดสอบค่าตรรกยะแบบแน่นอนของ $x$ จำนวน $12{,}001$ ค่าบน $[-6,6]$ อสมการ $2<|x+1|\le3$ เป็นจริงที่จุดของ $[-4,-3)\cup(1,2]$ พอดี และไม่เป็นจริงที่อื่นเลย ✓ ตรวจจุดปลาย: ที่ $x=-4$ ได้ $|x+1|=3$ ✓ รวมอยู่ในคำตอบ ที่ $x=-3$ ได้ $|x+1|=2$ ✗ ถูกตัดออก