จงแก้อสมการ 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ น้อยกว่า p

Step-by-step solution

1. 1

   ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวแล้วดึง $p$ ออกเป็นตัวประกอบ

   $6p^5-15p^4+10p^3-p<0\quad\Rightarrow\quad p\left(6p^4-15p^3+10p^2-1\right)<0$

   การทำงานกับนิพจน์ก้อนเดียวที่เทียบกับศูนย์คือสิ่งที่ทำให้สร้างตารางเครื่องหมายได้

2. 2

   หารากตรรกยะของพหุนามกำลังสี่ ทดสอบตัวเลือกจากทฤษฎีบทรากตรรกยะ $p=1$ ให้ $6-15+10-1=0$ และ $p=\tfrac12$ ให้ $\tfrac38-\tfrac{15}8+\tfrac52-1=0$ ดังนั้น $(p-1)$ และ $(2p-1)$ เป็นตัวประกอบ เมื่อหารออกไปจะได้

   $6p^4-15p^3+10p^2-1=(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)$

   (สัมประสิทธิ์นำ $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓ และค่าคงตัว $(-1)(-1)(-1)=-1$ ✓)

3. 3

   แยกตัวประกอบให้ครบแล้วเขียนจุดวิกฤต

   $p(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)<0$

   ตัวประกอบสุดท้ายมีราก $p=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$ นั่นคือ $-0.26376$ และ $1.26376$ เมื่อเรียงลำดับ รากเชิงเดี่ยวทั้งห้าคือ

   $-0.26376,\quad 0,\quad 0.5,\quad 1,\quad 1.26376$

4. 4

   สร้างตารางเครื่องหมายด้วยการทดสอบช่วงละหนึ่งจุด แทนค่าลงในอสมการเดิมในรูป $\text{LHS}-\text{RHS}$

   $p=-1:\ -30\ (<0)\quad p=-0.2:\ +0.094\quad p=0.25:\ -0.1465\ (<0)$
   $p=0.75:\ +0.1465\quad p=1.1:\ -0.0884\ (<0)\quad p=2:\ +30$

   รากทั้งห้าเป็นรากเชิงเดี่ยว เครื่องหมายจึงสลับกันไปมา อีกทั้งสัมประสิทธิ์นำ $6>0$ กับดีกรีคี่ $5$ บังคับให้นิพจน์เป็นบวกทางขวาสุด ซึ่งตรึงรูปแบบทั้งหมดไว้

5. 5

   อ่านคำตอบออกมา นิพจน์เป็นลบบนสามช่วง

   $p<\frac{3-\sqrt{21}}{6},\qquad 0<p<\frac12,\qquad 1<p<\frac{3+\sqrt{21}}{6}$

   ระวัง ถ้าสร้างตารางเครื่องหมายผิดด้าน จะได้ส่วนเติมเต็มของเซตนี้พอดี เป็นความผิดพลาดที่เกิดง่ายและจับได้ง่ายเช่นกัน เพราะ $p=2$ ต้องไม่สอดคล้อง ($192-240+80=32$ และ $32<2$ เป็นเท็จ) ขณะที่ $p=0.25$ ต้องสอดคล้อง ($0.1035<0.25$ ✓)

6. 6

   ยืนยันว่าจุดปลายถูกตัดออก ที่จุดวิกฤตทั้งห้า ทั้งสองข้างเท่ากันพอดี และอสมการเป็นแบบเข้ม ดังนั้นทั้ง $\frac{3-\sqrt{21}}{6}$, $0$, $\frac12$, $1$, $\frac{3+\sqrt{21}}{6}$ จึงไม่อยู่ในเซตคำตอบ