พหุนาม f(x) หารด้วย 2x^2 - 3x + 4 แล้วเหลือเศษ 2x + 1 จงหาเศษเหลือเมื่อ [f(x)]^3 หารด้วย 2x^2 - 3x + 4

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนข้อเท็จจริงเรื่องการหารให้เป็นสมการที่ยกกำลังสามได้ "เหลือเศษ $2x+1$" หมายความว่ามีพหุนามผลหาร $Q(x)$ บางตัวที่

   $f(x)=Q(x)\,(2x^2-3x+4)+(2x+1)$

   นี่คือข้อมูลเดียวที่โจทย์ให้มา ทุกขั้นตอนจึงต้องไหลออกมาจากตรงนี้ เขียน $D(x)=2x^2-3x+4$ ไว้ให้สั้น

2. 2

   ยกกำลังสามทั้งสองข้าง แล้วทิ้งทุกอย่างที่หารด้วย $D(x)$ ลงตัว กระจาย $\big(QD+(2x+1)\big)^3$ ด้วยทฤษฎีบททวินามได้

   $Q^3D^3+3Q^2D^2(2x+1)+3QD(2x+1)^2+(2x+1)^3$

   สามพจน์แรกล้วนมีตัวประกอบ $D(x)$ อยู่ จึงไม่มีส่วนร่วมกับเศษเหลือเลย นี่คือแนวคิดหลัก เศษเหลือของ $f^3$ เท่ากับเศษเหลือของ $(2x+1)^3$ เราไม่ต้องรู้ $f$ หรือ $Q$ เลยสักนิด

3. 3

   กระจายกำลังสาม

   $(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$

   ตัวหารมีดีกรี $2$ เศษเหลือที่เรากำลังตามหาจึงมีดีกรีไม่เกิน $1$ คือมีหน้าตาแบบ $Ax+B$

4. 4

   ลดกำลังของ $x$ โดยใช้ตัวหารเอง แทนที่จะหารยาว ให้ใช้ความสัมพันธ์ $2x^2-3x+4=0$ ในริงผลหาร นั่นคือมอง

   $x^2=\frac{3x-4}{2}$

   เป็นกฎการเขียนใหม่ จากนั้น

   $x^3=x\cdot x^2=\frac{3x^2-4x}{2}=\frac{3\cdot\frac{3x-4}{2}-4x}{2}=\frac{\frac{9x-12-8x}{2}}{2}=\frac{x-12}{4}$

   เคล็ดการแทนค่านี้เร็วกว่าการเอาพหุนามกำลังสามไปหารด้วยพหุนามกำลังสองมาก และขยายผลไปใช้กับกำลังใด ๆ ของ $x$ ได้

5. 5

   แทนค่าแล้วรวมพจน์คล้าย

   $8x^3=8\cdot\frac{x-12}{4}=2x-24,\qquad 12x^2=12\cdot\frac{3x-4}{2}=18x-24$

   ดังนั้น

   $(2x+1)^3\equiv(2x-24)+(18x-24)+6x+1=26x-47$

6. 6

   ตรวจด้วยการหารยาวจริง ๆ หาร $8x^3+12x^2+6x+1$ ด้วย $2x^2-3x+4$ ได้ผลหาร $4x+12$ และ

   $(2x^2-3x+4)(4x+12)=8x^3+12x^2-20x+48$

   บวกเศษเหลือที่อ้างไว้เข้าไป: $8x^3+12x^2-20x+48+26x-47=8x^3+12x^2+6x+1$ ซึ่งเท่ากับกำลังสามพอดี เศษเหลือจึงยืนยันได้