จงพิสูจน์ว่า ถ้าเมทริกซ์จัตุรัสสลับที่ได้กับเมทริกซ์ทุกตัวที่มีขนาดเท่ากัน แล้วเมทริกซ์นั้นเป็นพหุคูณสเกลาร์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกเมทริกซ์ทดสอบให้ถูกตัว แทนที่จะใช้ $B$ ตัวใด ๆ ให้ใช้ เมทริกซ์หน่วย $E_{ij}$ ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่มี $1$ ในแถวที่ $i$ หลักที่ $j$ และเป็น $0$ ทุกตำแหน่งอื่น เนื่องจาก $A$ สลับที่ได้กับทุกตัว มันจึงสลับที่ได้กับ $E_{ij}$ ทุกตัวด้วย

2. 2

   คำนวณผลคูณทั้งสองแบบ เขียน $A = (a_{kl})$

   $AE_{ij} \text{ คือเมทริกซ์ที่นำหลักที่ } i \text{ ของ } A \text{ ไปวางไว้ที่หลักที่ } j$
   $E_{ij}A \text{ คือเมทริกซ์ที่นำแถวที่ } j \text{ ของ } A \text{ ไปวางไว้ที่แถวที่ } i$

3. 3

   บังคับให้สมาชิกนอกแนวทแยงเป็นศูนย์ ให้ $AE_{ij} = E_{ij}A$ แล้วเทียบสมาชิกกัน จะได้ $a_{ki} = 0$ สำหรับทุก $k \ne i$ เนื่องจาก $i$ และ $j$ เป็นค่าใด ๆ จึงสรุปได้ว่า สมาชิกนอกแนวทแยงของ $A$ ทุกตัวเป็นศูนย์ นั่นคือ $A$ เป็นเมทริกซ์แนวทแยง

4. 4

   บังคับให้สมาชิกบนแนวทแยงเท่ากันหมด เมื่อเทียบสมาชิกที่เหลือจะได้ $a_{ii} = a_{jj}$ สำหรับทุก $i, j$ สมาชิกบนแนวทแยงทั้งหมดจึงมีค่าร่วมกันค่าหนึ่งคือ $\lambda$

5. 5

   สรุป เมทริกซ์แนวทแยงที่สมาชิกบนแนวทแยงเท่ากับ $\lambda$ ทั้งหมด ก็คือ $\lambda I_n$ พอดี (บทกลับเห็นได้ทันที เพราะ $\lambda I$ สลับที่ได้กับทุกตัวอยู่แล้ว) ข้อความนี้บอกว่า ศูนย์กลาง ของริงเมทริกซ์ $M_n(F)$ คือเซตของเมทริกซ์สเกลาร์พอดี