จงแก้สมการกำลังสี่ 2x^4 - 9x^3 + 3x^2 + 11x - 3 = 0 และหารากทั้งสี่

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนรายการรากตรรกยะที่เป็นไปได้ ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะใด ๆ $p/q$ จะมี $p$ หารพจน์ค่าคงตัว $-3$ ลงตัว และ $q$ หารสัมประสิทธิ์นำ $2$ ลงตัว จึงได้

   $\pm 1,\quad \pm 3,\quad \pm\tfrac12,\quad \pm\tfrac32$

   แปดจำนวนที่ต้องทดสอบ ซึ่งดีกว่าการเดาส่งเดชมาก

2. 2

   ทดสอบแล้วหารากตัวแรก เขียน $f(x)=2x^4-9x^3+3x^2+11x-3$

   $f(1)=2-9+3+11-3=4,\qquad f(3)=162-243+27+33-3=-24$
   $f(-1)=2+9+3-11-3=0$

   ดังนั้น $x=-1$ เป็นราก และ $(x+1)$ เป็นตัวประกอบ สังเกตว่า $x=3$ ไม่ใช่ ราก ทั้งที่สัมประสิทธิ์ล่อให้คิดเช่นนั้น ให้แทนค่าตรวจเสมอ อย่าเดาเอา

3. 3

   หาร $(x+1)$ ออกด้วยการหารสังเคราะห์ ดึงสัมประสิทธิ์ $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ ลงมา แล้วใช้ $-1$

   $2 \quad -11 \quad 14 \quad -3 \quad | \ 0$

   ดังนั้น

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)\left(2x^3-11x^2+14x-3\right)$

   เศษเหลือ $0$ ยืนยันการหาร และตอนนี้พหุนามกำลังสี่กลายเป็นโจทย์พหุนามกำลังสามแล้ว

4. 4

   หารากของพหุนามกำลังสามจากรายการเดิม สำหรับ $g(x)=2x^3-11x^2+14x-3$

   $g(1)=2,\qquad g(3)=-6,\qquad g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac32,\qquad g\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{4}-\tfrac{99}{4}+21-3=0$

   ดังนั้น $x=\tfrac32$ เป็นราก ให้ตัวประกอบ $(2x-3)$ เมื่อหารออกจะได้

   $2x^3-11x^2+14x-3=(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

5. 5

   แก้พหุนามกำลังสองที่เหลือ ตัวประกอบสุดท้ายไม่มีรากตรรกยะ จึงใช้สูตรกำลังสองกับ $x^2-4x+1=0$

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$

6. 6

   ประกอบและตรวจการแยกตัวประกอบ รวมทั้งหมดได้

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

   การกระจายข้างขวาให้สัมประสิทธิ์เดิมกลับมาคือ $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ การตรวจครั้งที่สองใช้สูตรเวียตา รากทั้งสี่รวมกันได้ $-1+\tfrac32+(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=\tfrac92$ ตรงกับ $-\frac{-9}{2}$ และผลคูณของรากคือ $-1\cdot\tfrac32\cdot(4-3)=-\tfrac32$ ตรงกับ $\frac{-3}{2}$