แก้สมการ 12/((x + 1)(x + 5)) + 15/((x + 2)(x + 4)) = 2

Step-by-step solution

1. 1

   กระจายตัวส่วนแต่ละก้อนแล้วมองหาพหุนามกำลังสองร่วม สังเกตว่าตัวประกอบทั้งสองคู่มีผลบวกเท่ากัน คือ $1+5=2+4=6$:

   $(x+1)(x+5)=x^{2}+6x+5,\qquad (x+2)(x+4)=x^{2}+6x+8$

   ดังนั้นเมื่อให้

   $u=x^{2}+6x$

   ตัวส่วนทั้งสองจะกลายเป็นเชิงเส้นใน $u$ ถ้ากำจัดตัวส่วนตรง ๆ จะได้พหุนามกำลังสี่แทน

2. 2

   เขียนสมการใหม่ในรูป u

   $\frac{12}{u+5}+\frac{15}{u+8}=2$

3. 3

   กำจัดตัวส่วนแล้วจัดรูป

   $12(u+8)+15(u+5)=2(u+5)(u+8)$

   $12u+96+15u+75=2\left(u^{2}+13u+40\right)$

   $27u+171=2u^{2}+26u+80\quad\Longrightarrow\quad 2u^{2}-u-91=0$

4. 4

   แก้หา u

   $u=\frac{1\pm\sqrt{1+728}}{4}=\frac{1\pm 27}{4}\quad\Longrightarrow\quad u=7\ \text{หรือ}\ u=-\frac{13}{2}$

5. 5

   ย้อนกลับไปหา x จากค่าของ u แต่ละค่า

   $u=7$: $x^{2}+6x-7=0\Rightarrow(x+7)(x-1)=0\Rightarrow x=-7$ หรือ $x=1$

   $u=-\tfrac{13}{2}$: $2x^{2}+12x+13=0\Rightarrow x=\dfrac{-12\pm\sqrt{144-104}}{4}=\dfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}$ ทั้งสองรากเป็นจำนวนจริงเพราะ $144-104=40>0$

   $\boxed{x=1,\ -7,\ \frac{-6+\sqrt{10}}{2},\ \frac{-6-\sqrt{10}}{2}}$

6. 6

   ตรวจโดเมนและตรวจรากหนึ่งราก ค่าที่ต้องตัดออกคือ $x=-1,-2,-4,-5$ ไม่มีรากใดในสี่รากนี้ตรงกับค่าเหล่านั้น ($\tfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}\approx -1.42$ และ $-4.58$ ห่างจากค่าต้องห้ามอยู่พอสมควร) ตรวจที่ $x=1$: $\tfrac{12}{2\cdot 6}+\tfrac{15}{3\cdot 5}=1+1=2$ ✓