ให้ P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มี P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 9, P(4) = 13 และ P(5) = 1 จงหาผลบวกของรากทั้งหมดของ P(x)

Step-by-step solution

1. 1

   มองหาแบบรูปในค่าที่โจทย์ให้ก่อนจะลงมือทำพีชคณิต ค่าสี่ตัวแรก $1,5,9,13$ เพิ่มขึ้นครั้งละ $4$ จึงอยู่บนเส้นตรง

   $L(x)=4x-3$

   เพราะ $4(1)-3=1$, $4(2)-3=5$, $4(3)-3=9$, $4(4)-3=13$ มีเพียงค่าที่ห้า $P(5)=1$ ที่ผิดแบบรูป (เส้นตรงจะทำนายว่าเป็น $17$)

2. 2

   ลบแบบรูปออกเพื่อสร้างรากที่รู้ค่า นิยาม

   $Q(x)=P(x)-(4x-3)$

   จะได้ $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$ การลบพหุนามดีกรี $1$ ออกไปไม่กระทบพจน์นำดีกรี $4$ ดังนั้น $Q$ ยังเป็นพหุนามกำลังสี่ และพหุนามกำลังสี่ที่รู้รากครบสี่รากถูกกำหนดได้หมดยกเว้นค่าคงตัวหนึ่งตัว

   $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\qquad a\neq 0$

3. 3

   เขียน $P$ ออกมาให้ชัด ย้อนการลบกลับไป

   $P(x)=4x-3+a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

   สูตรเดียวนี้บรรจุเงื่อนไขสี่ในห้าข้อไว้เรียบร้อยแล้ว ส่วนเงื่อนไขที่ห้าจะตรึงค่า $a$

4. 4

   ใช้ $P(5)=1$ หาค่า $a$ แทน $x=5$

   $1=4(5)-3+a(4)(3)(2)(1)=17+24a$

   $24a=-16\qquad\Longrightarrow\qquad a=-\frac{2}{3}$

5. 5

   ใช้สูตรของเวียตา แล้วดู $a$ ตัดกันหายไป สำหรับ $P(x)=Ax^4+Bx^3+\dots$ ผลบวกของรากคือ $-\dfrac{B}{A}$ กระจายเฉพาะสองพจน์บนสุด

   $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+\cdots=x^4-10x^3+\cdots$

   ดังนั้น $A=a$ และ $B=-10a$ (พจน์ $4x-3$ ที่ห้อยอยู่ไม่แตะสัมประสิทธิ์ทั้งสองตัว) จึงได้

   $-\frac{B}{A}=-\frac{-10a}{a}=10$

   ค่า $a$ หารตัดกันหมด การคำนวณ $a=-\tfrac{2}{3}$ เป็นการตรวจสอบที่มีประโยชน์ แต่คำตอบต้องการแค่ $a\neq 0$ ซึ่งรับประกันอยู่แล้วเพราะ $P$ มีดีกรี $4$

6. 6

   สรุปคำตอบ รากทั้งสี่ของ $P$ รวมกันได้

   $\boxed{10}$

   ตรวจความสมเหตุสมผลด้วยพหุนามที่เขียนออกมาจริง $P(x)=-\tfrac{2}{3}x^4+\tfrac{20}{3}x^3-\tfrac{70}{3}x^2+\tfrac{112}{3}x-19$ ซึ่งให้ค่าครบทั้งห้าค่าตามโจทย์ และ $-\tfrac{20/3}{-2/3}=10$