จงแก้สมการ (1 + x) ยกกำลัง 10 ลบ 10.7347x เท่ากับ 1

Step-by-step solution

1. 1

   ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวแล้วมองหารากที่ได้มาฟรี นิยาม

   $f(x)=(1+x)^{10}-10.7347x-1$

   จะได้ $f(0)=1-0-1=0$ ดังนั้น $x=0$ เป็นคำตอบพอดี โดยไม่ต้องคำนวณเชิงตัวเลขเลย สมการรูปนี้ (ตัวคูณการเติบโตยกกำลังตามจำนวนงวด ลบด้วยเงินจ่ายเชิงเส้น) มีรากชัด ๆ ตัวนี้เสมอ ส่วนรากที่น่าสนใจคือจุดตัดอีกจุดหนึ่ง

2. 2

   หาอนุพันธ์เพื่อดูรูปร่างของกราฟ

   $f'(x)=10(1+x)^9-10.7347,\qquad f''(x)=90(1+x)^8>0\ \ (x>-1)$

   เนื่องจาก $f''>0$ ฟังก์ชัน $f$ จึงเป็นคอนเวกซ์อย่างเข้มบน $(-1,\infty)$ จึงตัดแกนศูนย์ได้ไม่เกินสองครั้ง อีกทั้ง $f'(0)=10-10.7347=-0.7347<0$ แสดงว่าเส้นโค้งยังลดลงอยู่ขณะผ่านจุดกำเนิด

3. 3

   หาจุดต่ำสุดที่มีเพียงจุดเดียว แก้ $f'(x)=0$

   $(1+x)^9=1.07347\quad\Rightarrow\quad x=1.07347^{1/9}-1=0.0079085$

   และค่าที่จุดนั้นคือ $f(0.0079085)=-0.0029357$ ซึ่งต่ำกว่าศูนย์จริง (ตัวเลข $-0.000291$ ที่มักถูกอ้างถึงสำหรับจุดต่ำสุดนี้ เล็กเกินไปหนึ่งอันดับขนาด)

4. 4

   นับจำนวนราก บน $(-1,\,0.0079085)$ ฟังก์ชันลดจาก $f(-1^{+})=9.7347$ ลงถึง $-0.0029357$ จึงตัดแกนพอดีหนึ่งครั้ง นั่นคือ $x=0$ ส่วนบน $(0.0079085,\infty)$ ฟังก์ชันเพิ่มจาก $-0.0029357$ ขึ้นไปถึง $+\infty$ จึงตัดแกนอีกพอดีหนึ่งครั้ง สรุปว่ามีรากจริงพอดีสองตัวและไม่มีรากติดลบเลย ($f(-0.01)=+0.0117$ ยืนยันเครื่องหมายทางซ้ายของ $0$)

5. 5

   คร่อมแล้วขัดเกลารากที่สอง $f(0.015)=-0.00048$ และ $f(0.016)=+0.00027$ รากจึงอยู่ระหว่างสองค่านี้ การแบ่งครึ่งช่วงหรือใช้วิธีของนิวตันให้

   $x=0.01565489$

   ถึงทศนิยมแปดตำแหน่ง ไม่ใช่ $0.015845$ ซึ่งที่ค่านั้น $f=+1.5\times 10^{-4}$ ยังเป็นบวกอย่างชัดเจน

6. 6

   ตรวจด้วยการแทนค่าตรง ๆ $(1.0156549)^{10}=1.16805066$ ขณะที่ $1+10.7347(0.0156549)=1.16805066$ ทั้งสองตรงกันถึงทศนิยมแปดตำแหน่ง เซตคำตอบจึงเป็น $x=0$ และ $x\approx 0.0156549$