จงแก้อสมการ x คูณ log ฐาน 1/3 ของ (1/2 - x) มากกว่าหรือเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ของ x

Step-by-step solution

1. 1

   ตรึงโดเมนก่อนจะแตะอสมการ ลอการิทึมต้องการอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกเข้ม

   $\frac12-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac12$

   ทุกอย่างต่อจากนี้ค้นหาอยู่ภายใน $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ ผู้เข้าชิงตัวใดที่อยู่นอกช่วงนี้ถูกตัดทิ้งโดยอัตโนมัติ

2. 2

   แยกกรณีตามเครื่องหมายของ $x$ เพราะทั้ง $|x|$ และทิศทางของอสมการขึ้นกับมัน เขียน $L=\log_{1/3}\!\left(\tfrac12-x\right)$ อสมการคือ $xL\ge|x|$ การหารด้วย $x$ เป็นก้าวที่เป็นธรรมชาติ แต่เครื่องหมายของ $x$ ตัดสินทั้งว่า $|x|$ จะกลายเป็นอะไร และ ว่าอสมการจะกลับด้านหรือไม่ จึงต้องจัดการสามกรณีคือ $x>0$, $x=0$, $x<0$ แยกกัน

3. 3

   กรณี $x>0$ ในกรณีนี้ $|x|=x$ และการหารด้วยจำนวนบวก $x$ ไม่เปลี่ยนทิศทาง

   $L\ge 1$

   ฐาน $\tfrac13$ น้อยกว่า $1$ ดังนั้น $\log_{1/3}$ เป็นฟังก์ชัน ลด อสมการ $\log_{1/3}t\ge 1$ จึงกลับด้านเป็น $0<t\le\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac13$ ดังนั้น

   $0<\frac12-x\le\frac13\quad\Longleftrightarrow\quad \frac16\le x<\frac12$

   เมื่อรวมกับ $x>0$ จะได้ $\left[\tfrac16,\tfrac12\right)$

4. 4

   กรณี $x<0$ คราวนี้ $|x|=-x$ และการหาร $xL\ge-x$ ด้วยจำนวน ลบ $x$ ทำให้อสมการกลับด้าน

   $L\le -1$

   ใช้ข้อเท็จจริงว่า $\log_{1/3}$ เป็นฟังก์ชันลดอีกครั้ง $\log_{1/3}t\le-1$ กลายเป็น $t\ge\left(\tfrac13\right)^{-1}=3$

   $\frac12-x\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac52$

   ค่า $x$ เช่นนี้เป็นลบและอยู่ในโดเมนทั้งหมด รังสีทั้งเส้น $\left(-\infty,-\tfrac52\right]$ จึงใช้ได้

5. 5

   กรณี $x=0$ ห้ามข้าม แทนค่าตรง ๆ ได้ $0\cdot L=0$ และ $|0|=0$ อสมการจึงอ่านได้ว่า $0\ge0$ ซึ่งเป็นจริง จุดโดด $x=0$ จึงเป็นคำตอบจริง แม้จะไม่ได้อยู่ในช่วงใดเลย และเป็นจุดที่การหารด้วย $x$ อย่างไม่ระวังจะทำหล่นหายไปพอดี

6. 6

   ประกอบคำตอบและสุ่มตรวจ เซตคำตอบคือ

   $x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac16,\frac12\right)$

   ตรวจจุดขอบทั้งสอง ที่ $x=-\tfrac52$ ได้ $\tfrac12-x=3$ และ $\log_{1/3}3=-1$ ข้างซ้ายจึงเป็น $(-\tfrac52)(-1)=\tfrac52=|x|$ เท่ากันพอดี ที่ $x=\tfrac16$ ได้ $\tfrac12-x=\tfrac13$ และ $\log_{1/3}\tfrac13=1$ ข้างซ้ายจึงเป็น $\tfrac16=|x|$ เท่ากันอีกครั้ง ส่วนค่าทดสอบในโซนที่ถูกตัดออก เช่น $x=-1$ ให้ $(-1)\log_{1/3}\tfrac32\approx0.369$ ซึ่งน้อยกว่า $|x|=1$ จึงถูกตัดออกอย่างถูกต้อง