แก้สมการกำลังสอง (2x − 1)(3x + 7) = 0

Step-by-step solution

1. 1

   อย่าเพิ่งอยากกระจาย สมการอยู่ในรูปที่เราต้องพยายามไปให้ถึงอยู่แล้วหากมันถูกกระจายไว้ การคูณออกมาเป็น $6x^2+11x-7=0$ แล้วค่อยแยกตัวประกอบใหม่จึงเป็นแรงที่เสียเปล่าล้วน ๆ

2. 2

   ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ ถ้าผลคูณของจำนวนจริงสองจำนวนเป็นศูนย์ จะต้องมีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์:

   $AB=0\iff A=0\ \text{หรือ}\ B=0$

   สมบัตินี้เองที่ทำให้การแยกตัวประกอบเป็นวิธีแก้สมการได้ และมันใช้ได้กับศูนย์เท่านั้น ถ้าเป็น $(2x-1)(3x+7)=5$ จะบอกอะไรเกี่ยวกับวงเล็บแต่ละอันไม่ได้เลย

3. 3

   แยกเป็นสมการเชิงเส้นสองสมการ

   $2x-1=0\qquad\text{หรือ}\qquad 3x+7=0$

4. 4

   แก้ทีละสมการ

   $2x=1\ \Longrightarrow\ x=\frac{1}{2}$

   $3x=-7\ \Longrightarrow\ x=-\frac{7}{3}$

5. 5

   แทนรากทั้งสองกลับเข้าไป ที่ $x=\tfrac12$ วงเล็บแรกเป็น $2(\tfrac12)-1=0$ ผลคูณจึงเป็น $0$ $\checkmark$ ที่ $x=-\tfrac73$ วงเล็บที่สองเป็น $3(-\tfrac73)+7=-7+7=0$ ผลคูณจึงเป็น $0$ $\checkmark$ รากทั้งสองแน่นอนพอดี