แก้อสมการ (|x − 2| − x) / (x² − 4) ≤ 0 แล้วเขียนคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง

Step-by-step solution

1. 1

   ตัดจุดที่นิพจน์ไม่นิยามออกก่อน เศษส่วนจะนิยามได้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ในที่นี้ $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ดังนั้น

   $x\ne 2\quad\text{และ}\quad x\ne -2.$

   สองจุดนี้อยู่ในเซตคำตอบไม่ได้เลย ไม่ว่าตัวเศษจะเป็นอะไรก็ตาม เครื่องหมาย $\le$ ไม่เคยช่วยกู้ตัวส่วนที่เป็นศูนย์

2. 2

   แยกค่าสัมบูรณ์ที่จุดหักของมัน $|x-2|$ เปลี่ยนสูตรที่ $x=2$ คือเท่ากับ $x-2$ เมื่อ $x\ge 2$ และเท่ากับ $2-x$ เมื่อ $x<2$ เพราะอสมการทั้งก้อนมีพฤติกรรมต่างกันบนสองฝั่งนี้ เราจึงแก้แยกทีละฝั่งแล้วค่อยนำผลมายูเนียนกัน ทำด้วยพีชคณิตดีกว่าการสุ่มแทนตัวเลขทดสอบ เพราะจะได้ไม่พลาดอะไรที่ซ่อนอยู่ระหว่างจุดทดสอบ

3. 3

   กรณีที่ 1: $x>2$ ตรงนี้ $|x-2|=x-2$ ตัวเศษจึงยุบเหลือค่าคงตัว

   $\frac{(x-2)-x}{x^2-4}=\frac{-2}{x^2-4}.$

   เมื่อ $x>2$ ตัวส่วน $x^2-4$ เป็นบวก เศษส่วนจึงเป็นลบสำหรับทุกค่า $x$ ในช่วงนี้ รังสีทั้งเส้น $(2,+\infty)$ จึงสอดคล้องกับอสมการ (โดย $x=2$ เองถูกตัดออกไปแล้วในขั้นตอนที่ 1)

4. 4

   กรณีที่ 2: $x<2$ ตรงนี้ $|x-2|=2-x$ ตัวเศษจึงเป็น $2-2x=2(1-x)$ และ

   $\frac{2(1-x)}{(x-2)(x+2)}\le 0.$

   ตัวเศษเป็นศูนย์ที่ $x=1$ และเป็นบวกเมื่อ $x<1$ ส่วนตัวประกอบ $x-2$ เป็นลบตลอดทั้งกรณีนี้ และตัวประกอบ $x+2$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x=-2$

5. 5

   สร้างตารางเครื่องหมายสำหรับกรณีที่ 2 แบ่งเส้นจำนวนที่ค่าวิกฤต $-2$ และ $1$:

   ช่วง	$2(1-x)$	$x-2$	$x+2$	เศษส่วน
   $x<-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $-2<x<1$	$+$	$-$	$+$	$-$
   $1<x<2$	$-$	$-$	$+$	$+$

   มีเพียงช่วง $-2<x<1$ เท่านั้นที่ทำให้เศษส่วนเป็นลบ ที่ $x=1$ ตัวเศษเป็น $0$ ขณะที่ตัวส่วนเป็น $-3\ne 0$ เศษส่วนจึงเท่ากับ $0$ พอดี และ $0\le 0$ เป็นจริง ดังนั้น $x=1$ จึงรวมอยู่ในคำตอบ

6. 6

   นำคำตอบของสองกรณีมายูเนียนกัน รวม $(-2,1]$ จากกรณีที่ 2 เข้ากับ $(2,+\infty)$ จากกรณีที่ 1 ได้

   $(-2,\,1]\ \cup\ (2,\,+\infty).$

   ลองสุ่มแทนค่าตรวจดูก็ยืนยันตรงกัน: ที่ $x=0$ ได้ค่า $-0.5$ (จริง) ที่ $x=1.5$ ได้ $+0.571$ (เท็จ) ที่ $x=3$ ได้ $-0.4$ (จริง) และที่ $x=-2.5$ ได้ $+3.11$ (เท็จ)