จงแก้สมการ 1/(x(x + 2)) − 1/(x + 1)² = 1/12

Step-by-step solution

1. 1

   มองให้เห็นความสัมพันธ์ที่ซ่อนอยู่ระหว่างตัวส่วนทั้งสอง เมื่อกระจายจะได้ $x(x+2)=x^{2}+2x$ ขณะที่ $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ ทั้งสองต่างกันพอดี $1$ ดังนั้นเมื่อให้

   $u=(x+1)^{2}$

   จะได้ $x(x+2)=u-1$ และสมการยุบเหลือปัญหาตัวแปรเดียว ถ้ากำจัดตัวส่วนตรง ๆ จะได้สมการกำลังสี่แทน

2. 2

   เขียนใหม่ในรูปของ u

   $\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{12}$

3. 3

   รวมข้างซ้าย ตัวเศษหักล้างกันเป็นลูกโซ่

   $\frac{u-(u-1)}{u(u-1)}=\frac{1}{u^{2}-u}$

   สมการจึงกลายเป็น $\dfrac{1}{u^{2}-u}=\dfrac{1}{12}$ นั่นคือ

   $u^{2}-u-12=0$

4. 4

   แก้สมการกำลังสองใน u

   $(u-4)(u+3)=0\quad\Longrightarrow\quad u=4\ \text{หรือ}\ u=-3$

5. 5

   ตัดค่าที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง แล้วย้อนการแทนค่ากลับ เนื่องจาก $u=(x+1)^{2}$ เป็นกำลังสอง ค่า $u=-3$ จึงเป็นไปไม่ได้ จาก $u=4$

   $(x+1)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+1=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{หรือ}\ x=-3$

   $\boxed{x=1\ \text{หรือ}\ x=-3}$

6. 6

   ตรวจรากทั้งสองในสมการเดิมและยืนยันโดเมน ค่าที่ต้องยกเว้นคือ $x=0$, $x=-2$ และ $x=-1$ ซึ่งไม่มีรากใดตรงกับค่าเหล่านี้ ที่ $x=1$ ได้ $\tfrac{1}{1\cdot 3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓ ที่ $x=-3$ ได้ $\tfrac{1}{(-3)(-1)}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓ ความสมมาตรของรากทั้งสองรอบ $x=-1$ เป็นสิ่งที่คาดได้ เพราะสมการทั้งก้อนขึ้นกับ $x$ ผ่าน $(x+1)^{2}$ เท่านั้น