จงแก้สมการ −0.2 = 4.3957x² + 1.7334x + 0.0496

Step-by-step solution

1. 1

   ย้ายทุกอย่างไปไว้ข้างเดียว สมการกำลังสองจะลงมือแก้ได้ก็ต่อเมื่ออยู่ในรูป $ax^2+bx+c=0$ บวก $0.2$ ทั้งสองข้างได้ $4.3957x^2 + 1.7334x + 0.0496 + 0.2 = 0$ นั่นคือ $4.3957x^2 + 1.7334x + 0.2496 = 0$ ดังนั้น $a = 4.3957$, $b = 1.7334$, $c = 0.2496$

2. 2

   ตัดสินใจใช้สูตรกำลังสอง สัมประสิทธิ์เป็นตัวเลขจากการทดลองที่มีทศนิยมสี่ตำแหน่ง จึงไม่มีคู่ตัวประกอบให้เดา และการทำกำลังสองสมบูรณ์ก็เพียงย้ายการคำนวณที่น่าเกลียดไปไว้ที่อื่น สูตร $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ รับมือกับสัมประสิทธิ์แบบใดก็ได้

3. 3

   คำนวณดิสคริมิแนนต์อย่างระมัดระวัง $b^2 = 1.7334^2 = 3.00467556$ และ $4ac = 4(4.3957)(0.2496) = 4.38866688$ ดังนั้น $\Delta = b^2 - 4ac = 3.00467556 - 4.38866688 = -1.38399132.$ ผลคูณทั้งสองต้องคิดด้วยความละเอียดเต็มที่ตรงนี้ เพราะ $\Delta$ เป็นผลต่างของจำนวนสองจำนวนที่เกือบเท่ากัน การปัดเศษเร็วเกินไปอาจเปลี่ยนเครื่องหมายของมันได้

4. 4

   อ่านเครื่องหมายของดิสคริมิแนนต์ $\Delta < 0$ พาราโบลา $y = 4.3957x^2 + 1.7334x + 0.2496$ จึงหงายขึ้นแต่ไม่เคยแตะแกน $x$ เลย สมการนี้ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง และเพราะ $\Delta<0$ ข้อความเดิม $-0.2 = 4.3957x^2+1.7334x+0.0496$ จึงเป็นเท็จสำหรับ $x$ จริงทุกค่า

5. 5

   เขียนคู่รากเชิงซ้อน ใช้ $\sqrt{-1.38399132} = i\sqrt{1.38399132}$ และ $\sqrt{1.38399132} \approx 1.1764316$ กับ $2a = 8.7914$ ได้ $x = \frac{-1.7334 \pm 1.1764316\,i}{8.7914} \approx -0.19717 \pm 0.13382\,i.$

6. 6

   ตรวจความสมเหตุสมผลด้วยจุดยอด รากเชิงซ้อนทั้งสองต้องมีส่วนจริงร่วมกันเท่ากับ $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1.7334}{8.7914} = -0.19717$ ซึ่งเป็นพิกัด $x$ ของจุดยอดพอดี และค่าต่ำสุด $c - \dfrac{b^2}{4a} = 0.2496 - 0.17089 = 0.07871 > 0$ ยืนยันว่าพาราโบลาอยู่เหนือแกนตลอด