จงหาคำตอบของสมการ 7 + 2(5x + 2x²) = 16 โดยตอบแต่ละค่าเป็นกรณฑ์อย่างต่ำ

Step-by-step solution

1. 1

   กระจายวงเล็บแล้วรวบทุกอย่างไปข้างเดียว

   $7+10x+4x^{2}=16\quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+10x-9=0.$

   เขียนพจน์เรียงตามกำลังจากมากไปน้อย จะได้อ่านสัมประสิทธิ์ $a=4$, $b=10$, $c=-9$ ได้ง่าย

2. 2

   ลองแยกตัวประกอบดูก่อน ต้องหาจำนวนเต็มสองตัวที่คูณกันได้ $4\cdot(-9)=-36$ และบวกกันได้ $10$ คู่ที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $(-2,18)$ และ $(12,-3)$ ซึ่งบวกกันได้ $16$ และ $9$ ไม่มีคู่ไหนใช้ได้ รากจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ และคำตอบจะเป็นกรณฑ์จริง ๆ

3. 3

   คำนวณดิสคริมิแนนต์

   $b^{2}-4ac=10^{2}-4(4)(-9)=100+144=244.$

4. 4

   จัดรูปกรณฑ์ก่อนหาร $244=4\cdot 61$ และ $61$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น

   $\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

   การจัดรูปตรงนี้คือสิ่งที่ทำให้เศษส่วนสุดท้ายลดรูปได้ ถ้าปล่อย $\sqrt{244}$ ไว้จะได้คำตอบที่ถูกต้องแต่ยังไม่อย่างต่ำ

5. 5

   ใช้สูตรกำลังสองแล้วตัดตัวประกอบร่วม 2

   $x=\frac{-10\pm 2\sqrt{61}}{2\cdot 4}=\frac{2\left(-5\pm\sqrt{61}\right)}{8}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{4}.$

6. 6

   ตรวจด้วยทฤษฎีบทเวียตาและค่าประมาณทศนิยม รากทั้งสองบวกกันได้ $\tfrac{-10}{4}=-2.5$ และคูณกันได้ $\tfrac{-9}{4}=-2.25$ เชิงตัวเลข $\sqrt{61}=7.8102$ รากจึงเป็น $0.70256$ และ $-3.20256$ ผลบวกคือ $-2.5$ และผลคูณคือ $-2.25$ ถูกต้องทั้งคู่