จงแก้อสมการ (2/5)^x < รากที่สองของ (4/25)^((3x + 2)/x)

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุโดเมนก่อน เลขชี้กำลัง $\frac{3x+2}{x}$ หาค่าไม่ได้ที่ $x=0$ ดังนั้น $x\ne 0$ เป็นข้อจำกัดที่ต้องถือไว้ตลอด ส่วนที่เหลือนิยามได้สำหรับ $x$ จำนวนจริงทุกค่า เพราะฐานที่เป็นบวกยกกำลังจำนวนจริงใด ๆ ย่อมเป็นบวก

2. 2

   เขียนทั้งสองข้างให้มีฐานเดียวกัน สังเกตว่า $\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$ รากที่สองจึงหักล้างกับกำลังสองพอดี

   $\sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{3x+2}{x}}}=\left[\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2\cdot\frac{3x+2}{x}}\right]^{1/2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

   อสมการจึงกลายเป็นการเปรียบเทียบเลขชี้กำลังล้วน ๆ บนฐานเดียวกัน

   $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}<\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

3. 3

   กลับเครื่องหมายอสมการ เพราะฐานน้อยกว่า 1 ฟังก์ชัน $t\mapsto\left(\frac25\right)^t$ เป็นฟังก์ชัน ลด ค่าที่เล็กกว่าจึงมาจากเลขชี้กำลังที่ ใหญ่กว่า

   $x>\frac{3x+2}{x}$

   การลืมกลับเครื่องหมายตรงนี้คือความผิดพลาดอันดับหนึ่งของอสมการเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นเศษส่วน

4. 4

   ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวกัน อย่าคูณด้วย $x$ เด็ดขาด การคูณไขว้ด้วย $x$ จะบังคับให้ต้องแยกกรณีตามเครื่องหมายของ $x$ การลบจึงปลอดภัยกว่า

   $x-\frac{3x+2}{x}>0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x^2-3x-2}{x}>0$

5. 5

   หาจุดวิกฤตแล้วสร้างตารางเครื่องหมาย ตัวเศษเป็นศูนย์เมื่อ $x^2-3x-2=0$ นั่นคือ

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\approx-0.5616\ \text{และ}\ 3.5616$

   เมื่อรวมกับศูนย์ของตัวส่วน จุดวิกฤตเรียงตามลำดับคือ $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$, $0$, $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ ทดสอบจุดหนึ่งจุดในแต่ละช่วงจากสี่ช่วง จะได้เครื่องหมาย $-,\;+,\;-,\;+$

6. 6

   เขียนเซตคำตอบและสุ่มตรวจ ผลหารเป็นบวกบน

   $x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\,0\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,+\infty\right)$

   ลองตรวจ $x=-0.4$: ข้างซ้าย $0.4^{-0.4}\approx1.44$ ข้างขวา $0.4^{(3(-0.4)+2)/(-0.4)}=0.4^{-2}=6.25$ อสมการเป็นจริง ลองตรวจ $x=1$: $0.4<0.4^{5}=0.01$ เป็นเท็จ ตรงตามที่ตารางทำนายไว้