แก้สมการ 27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   มองหากำลังสามสมบูรณ์ก่อนจะไปคว้าสูตรกำลังสาม พจน์แรกและพจน์สุดท้ายเป็นกำลังสามสมบูรณ์ทั้งคู่:

   $27x^{3}=(3x)^{3},\qquad 8=2^{3}.$

   เครื่องหมายที่สลับกัน ($+,-,+,-$) ชี้ไปที่รูปผลต่าง $(a-b)^{3}$ จึงคุ้มที่จะลองทดสอบ $a=3x$ และ $b=2$ ก่อนจะทำอะไรที่ยากกว่า การจับรูปแบบให้ได้เปลี่ยนสมการกำลังสามให้เป็นโจทย์บรรทัดเดียว

2. 2

   กระจาย $(3x-2)^{3}$ แล้วเปรียบเทียบ ใช้ $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$:

   $(3x-2)^{3}=(3x)^{3}-3(3x)^{2}(2)+3(3x)(2)^{2}-2^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8.$

   ทุกสัมประสิทธิ์ตรงกับสมการเดิม ตรวจสองพจน์กลางให้ดี: $3\cdot 9x^{2}\cdot 2=54x^{2}$ และ $3\cdot 3x\cdot 4=36x$ สองพจน์นี้เองที่จะไม่ตรงถ้าเดารูปแบบผิด

3. 3

   เขียนสมการในรูปที่แยกตัวประกอบแล้ว สมการจึงเป็น

   $(3x-2)^{3}=0.$

   กำลังสามจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อฐานของมันเป็นศูนย์ เพราะ $t^{3}=0\iff t=0$ ทั้งบนจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน ไม่มีกรณีที่สองให้พิจารณา

4. 4

   แก้สมการเชิงเส้น จาก $3x-2=0$:

   $3x=2\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}.$

   สมการกำลังสามนี้จึงมีรากเดียวคือ $x=\tfrac23$ โดยมีพหุคูณสาม รากทั้งสามของพหุนามดีกรี 3 นี้ทับกันหมด ในเชิงกราฟ เส้นโค้งจะแบนราบแนบแกน $x$ ที่จุดนั้น แทนที่จะตัดผ่านอย่างชัน

5. 5

   ตรวจด้วยการแทนค่าและด้วยทฤษฎีบทเวียตา แทนค่า: $27\cdot\tfrac{8}{27}-54\cdot\tfrac49+36\cdot\tfrac23-8=8-24+24-8=0$ ✓ เวียตาก็สอดคล้อง: ผลรวมของรากทั้งสามต้องเท่ากับ $-\tfrac{-54}{27}=2=3\times\tfrac23$ ✓ และผลคูณต้องเท่ากับ $\tfrac{8}{27}=\left(\tfrac23\right)^{3}$ ✓