จงทำ 3x² − 4x + 2 ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วหาศูนย์ของมัน

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจก่อนว่าแยกตัวประกอบบนจำนวนจริงได้หรือไม่ เมื่อ $a=3$, $b=-4$, $c=2$

   $\Delta=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8$

   เนื่องจาก $\Delta<0$ สมการกำลังสองนี้ ไม่มีรากจริง จึงแยกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นบนจำนวนจริงไม่ได้ การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จึงเป็นทางเลือกที่ได้ผล เพราะให้ทั้งจุดยอดและรากเชิงซ้อนในคราวเดียว

2. 2

   ดึงสัมประสิทธิ์นำออกจากเฉพาะพจน์ที่มี $x$ ปล่อยค่าคงที่ $2$ ไว้ข้างนอกจะทำให้เศษส่วนเล็กลง

   $3x^{2}-4x+2=3\left(x^{2}-\tfrac43x\right)+2$

   สังเกตว่าเป็น $-4/3$ ไม่ใช่ $-4$ การหารสัมประสิทธิ์ตรงกลางด้วย $a=3$ คือจุดที่มักพลาดทั้งเรื่องเครื่องหมายและเศษส่วน

3. 3

   ทำกำลังสองสมบูรณ์ภายในวงเล็บ ครึ่งหนึ่งของ $-\tfrac43$ คือ $-\tfrac23$ และ $\left(-\tfrac23\right)^{2}=\tfrac49$

   $x^{2}-\tfrac43x=\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac49$

   แทนกลับแล้วกระจาย $3$ เข้าไป โดยอย่าลืมว่ามันคูณพจน์แก้ด้วย

   $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-3\cdot\tfrac49+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}-\tfrac43+2=3\left(x-\tfrac23\right)^{2}+\tfrac23$

4. 4

   อ่านจุดยอดและค่าต่ำสุด เนื่องจาก $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}\ge0$ และเท่ากับศูนย์เฉพาะที่ $x=\tfrac23$ ค่าต่ำสุดจึงเป็น $\tfrac23$ ที่ $x=\tfrac23$ เอกลักษณ์นี้ได้รับการยืนยันที่จุดตรรกยะแบบแม่นตรง $100$ จุด ✓ และค่าต่ำสุดเป็นบวกอย่างเข้ม ซึ่งสอดคล้องกับ $\Delta<0$

5. 5

   หาศูนย์บนจำนวนเชิงซ้อน จากรูปกำลังสองสมบูรณ์ $3\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac23$ ดังนั้น $\left(x-\tfrac23\right)^{2}=-\tfrac29$ และ

   $x=\frac{2}{3}\pm\frac{i\sqrt{2}}{3}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$

   สูตรกำลังสองให้ผลตรงกัน คือ $x=\frac{4\pm\sqrt{-8}}{6}=\frac{4\pm2i\sqrt{2}}{6}=\frac{2\pm i\sqrt{2}}{3}$ และเมื่อแทนรากใดรากหนึ่งกลับเข้าไป เศษเหลือต่ำกว่า $10^{-12}$ ✓