จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   ให้สังเกตก้อนที่ซ้ำกัน ไม่ใช่ดีกรีหลังกระจาย นิพจน์ $x+4$ ปรากฏทั้งแบบยกกำลังสองและแบบกำลังหนึ่ง และไม่มีที่อื่นที่มี $x$ อยู่เลย นั่นคือลายเซ็นของสมการที่อยู่ใน รูปกำลังสอง การกระจายออกเป็น $x^2 + 25x + 156 = 0$ ก็ทำได้ แต่จะทิ้งโครงสร้างที่ทำให้แยกตัวประกอบได้ง่ายไป

2. 2

   แทน $u = x + 4$ การแทนที่ก้อนที่ซ้ำกันเปลี่ยนสมการให้เป็นสมการกำลังสองธรรมดา

   $u^2 + 17u + 72 = 0$

3. 3

   แยกตัวประกอบสมการกำลังสองใน $u$ มองหาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $72$ และบวกกันได้ $17$ เนื่องจาก $8 \cdot 9 = 72$ และ $8 + 9 = 17$

   $(u+8)(u+9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = -8 \ \text{ หรือ } \ u = -9$

   ดิสคริมิแนนต์คือ $17^2 - 4(72) = 1 > 0$ ยืนยันว่ามีรากจริงที่ต่างกันสองราก

4. 4

   ย้อนการแทนค่ากลับ ขั้นนี้คือขั้นที่คนข้ามบ่อยที่สุด โจทย์ถามหา $x$ ไม่ใช่ $u$ จึงต้องแทน $u = x+4$ กลับเข้าไป

   $x + 4 = -8 \ \Rightarrow \ x = -12, \qquad x + 4 = -9 \ \Rightarrow \ x = -13$

5. 5

   ตรวจค่าทั้งสองกับสมการเดิม สำหรับ $x=-12$: $(-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$ สำหรับ $x=-13$: $(-9)^2 + 17(-9) + 72 = 81 - 153 + 72 = 0$ เนื่องจากการแทนค่าเป็นเพียงการเลื่อนอย่างง่าย (ไม่ได้ยกกำลังสองหรือถอดรากทั้งสองข้าง) จึงไม่มีคำตอบแปลกปลอมเกิดขึ้นได้