แก้สมการ 25x⁴ + 10x² − 4 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตรูปไบควอดราติก สมการมีแต่กำลังคู่ของ $x$ การแทนค่า $u=x^{2}$ จึงเปลี่ยนสมการกำลังสี่ให้เป็นกำลังสอง: $25u^{2}+10u-4=0.$ วิธีนี้ใช้ได้กับ $ax^{4}+bx^{2}+c$ ทุกแบบ และเร็วกว่าสูตรกำลังสี่ทั่วไปมาก

2. 2

   แก้สมการกำลังสองในตัวแปร $u$ เมื่อ $a=25$, $b=10$, $c=-4$ จะได้ $u=\frac{-10\pm\sqrt{100-4(25)(-4)}}{50}=\frac{-10\pm\sqrt{500}}{50}=\frac{-10\pm 10\sqrt5}{50}=\frac{-1\pm\sqrt5}{5}.$ สังเกตว่า $\sqrt{500}=10\sqrt5$ และตัวประกอบร่วม $10$ ตัดกับ $50$ ได้

3. 3

   ย้อนการแทนค่ากลับ ทีละกรณี เมื่อ $u=x^{2}$ ค่าของ $u$ แต่ละค่าจะให้ $x$ สองค่า แต่ต่อเมื่อ $u\ge 0$ เท่านั้น เนื่องจาก $\sqrt5=2.2360680$ จึงได้ $u_{1}=\frac{\sqrt5-1}{5}=0.2472136>0,\qquad u_{2}=\frac{-1-\sqrt5}{5}=-0.6472136<0.$

4. 4

   ดึงคำตอบจริงออกจากรากที่เป็นบวก $x^{2}=\frac{\sqrt5-1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{5}}=\pm 0.4972058.$ นี่คือคำตอบจริงเพียงสองค่าเท่านั้น กราฟของพหุนามกำลังสี่นี้จึงตัดแกนพอดีสองครั้ง

5. 5

   ดึงคำตอบจินตภาพออกจากรากที่เป็นลบ $x^{2}=-\frac{1+\sqrt5}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm i\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{5}}=\pm 0.8044959\,i.$ การลืมตรวจเครื่องหมายของ $u$ ก่อนถอดรากที่สองคือความผิดพลาดมาตรฐานของโจทย์นี้ ซึ่งจะทำให้เกิดรากจริงปลอมสองตัว หรือไม่ก็ทำให้รากเชิงซ้อนสองตัวหายไป

6. 6

   ตรวจด้วยการแทนค่า ที่ $x=0.4972058$: $x^{2}=0.2472136$ และ $x^{4}=0.06111456$ ดังนั้น $25(0.06111456)+10(0.2472136)-4=1.5278640+2.4721360-4=0.0000000$ ตรวจอีกทางหนึ่ง ผลคูณของรากทั้งสี่ต้องเท่ากับ $c/a=-4/25=-0.16$ และ $\left(0.4972058\right)^{2}\times\left(-\left(0.8044959\right)^{2}\right)=0.2472136\times(-0.6472136)=-0.1600000$