แก้สมการ 2x² = 2x + 1

Step-by-step solution

1. 1

   จัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน สูตรกำลังสองต้องการรูป $ax^{2}+bx+c=0$ จึงลบ $2x+1$ ออกจากทั้งสองข้าง:

   $2x^{2}-2x-1=0$

   ได้ $a=2$, $b=-2$, $c=-1$ สังเกตว่า $c$ เป็นลบ การย้าย $+1$ ข้ามไปทำให้เครื่องหมายเปลี่ยน

2. 2

   คำนวณดิสคริมิแนนต์เพื่อเลือกวิธี

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(2)(-1)=4+8=12$

   ลบสองชั้นใน $-4(2)(-1)=+8$ คือจุดที่ต้องระวัง เนื่องจาก $\Delta=12>0$ จึงมีรากจริงต่างกันสองราก แต่ $12$ ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ รากจึงเป็นอตรรกยะและแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มไม่ได้ สูตรจึงเป็นเครื่องมือที่ถูกต้อง

3. 3

   แทนค่าลงในสูตรกำลังสอง

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}$

4. 4

   จัดรูปกรณฑ์แล้วลดทอนเศษส่วน เนื่องจาก $12=4\cdot3$ จึงได้ $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:

   $x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

   ตัวประกอบร่วม $2$ ต้องถูกตัดออกจากทั้งสองพจน์ในตัวเศษ การตัดเฉพาะ $2$ ตัวหน้าคือความผิดพลาดคลาสสิก

5. 5

   ตรวจด้วยทฤษฎีบทเวียตาและด้วยการแทนค่า ผลรวมของรากต้องเท่ากับ $-b/a=1$ และผลคูณต้องเท่ากับ $c/a=-\tfrac12$:

   $\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}=1\ \checkmark,\qquad\frac{(1)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac12\ \checkmark$

   ในเชิงตัวเลข รากคือ $\approx1.3660$ และ $\approx-0.3660$ และเมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงใน $2x^{2}-2x-1$ จะได้ส่วนตกค้างต่ำกว่า $10^{-12}$ ✓