จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ 6^x = x^18

Step-by-step solution

1. 1

   จัดการเรื่องโดเมนก่อน เมื่อ $x>0$ ทั้งสองข้างเป็นบวก เมื่อ $x<0$ ข้างขวา $x^{18}$ ก็ยังเป็นบวกเพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ และ $6^x>0$ ด้วย ค่า $x$ ที่ติดลบจึงใช้ได้ ส่วนที่ $x=0$ จะได้ $1=0$ ซึ่งเป็นเท็จ $x=0$ จึงถูกตัดออก

2. 2

   ลดกรณี x เป็นบวกให้เหลือฟังก์ชันที่ขึ้นก่อนแล้วลง ใส่ลอการิทึมให้ $6^x=x^{18}$ เมื่อ $x>0$

   $x\ln 6=18\ln x\quad\Longrightarrow\quad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 6}{18}\approx 0.0995422$

   ฟังก์ชัน $g(x)=\tfrac{\ln x}{x}$ มี $g'(x)=\tfrac{1-\ln x}{x^2}$ จึงเพิ่มขึ้นบน $(0,e]$ และลดลงบน $[e,\infty)$ โดยมีค่าสูงสุด $g(e)=\tfrac1e\approx 0.3679$ เนื่องจาก $0<0.0995<\tfrac1e$ เส้นแนวนอนจึงตัดกราฟพอดีสองครั้ง

3. 3

   มองหารากใหญ่ที่แม่นตรง ลอง $x=36$ เนื่องจาก $36=6^2$

   $36^{18}=\left(6^2\right)^{18}=6^{36}$

   ดังนั้น $x=36$ สอดคล้องกับสมการพอดี ยืนยันด้วย $g$ ได้ว่า $\tfrac{\ln 36}{36}=\tfrac{3.583519}{36}=0.0995422$ $\checkmark$

4. 4

   หารากบวกตัวเล็กเชิงตัวเลข มันต้องอยู่ใน $(1,e)$ เพราะ $g(1)=0$ และ $g$ เพิ่มขึ้นไปจนถึง $g(e)$ การแบ่งครึ่งช่วงบน $g(x)-0.0995422$ ให้

   $x\approx 1.1176815$

   ตรวจดู $6^{1.1176815}\approx 7.4084$ และ $1.1176815^{18}\approx 7.4084$ $\checkmark$

5. 5

   แสดงว่ามีรากติดลบเพียงหนึ่งราก ให้ $x=-t$ โดย $t>0$ สมการกลายเป็น $6^{-t}=t^{18}$ นั่นคือ $h(t)=6^{t}t^{18}=1$ เนื่องจาก

   $\frac{d}{dt}\ln h(t)=\ln 6+\frac{18}{t}>0$

   $h$ จึงเพิ่มขึ้นอย่างเข้มจาก $0$ ไปถึง $\infty$ สมการ $h(t)=1$ จึงมีคำตอบเดียวพอดี การแบ่งครึ่งช่วงให้ $t\approx 0.9131150$ นั่นคือ $x\approx-0.9131150$ ตรงนั้น $6^{x}\approx 0.194741$ และ $x^{18}\approx 0.194741$ $\checkmark$

6. 6

   รวบรากทั้งสาม ติดลบหนึ่ง บวกสอง และไม่มีรากอื่นอีกตามข้อโต้แย้งเรื่องความเป็นเอกภาพข้างต้น

   $x\approx-0.91311,\qquad x\approx 1.11768,\qquad x=36$