จงหาโดเมนของฟังก์ชัน f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) แล้วเขียนคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง

Step-by-step solution

1. 1

   ให้นับตัวส่วน ไม่ใช่นับเศษส่วน เศษส่วนซ้อนมีจุดที่พังได้มากกว่าหนึ่งจุด ฟังก์ชันนี้มีสองจุด คือตัวส่วนชั้นใน $x-5$ และตัวส่วนชั้นนอก $\frac{8}{x-5}-2$ ทั้งคู่ต้องไม่เป็นศูนย์ และแต่ละตัวให้ค่าที่ต้องยกเว้นคนละค่า

2. 2

   ข้อจำกัดที่ 1 — ตัวส่วนชั้นใน $\frac{8}{x-5}$ ต้องการให้

   $x-5\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 5.$

3. 3

   ข้อจำกัดที่ 2 — ตัวส่วนชั้นนอก ตั้งตัวส่วนชั้นนอกให้เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ จากนั้นยกเว้นรากที่ได้

   $\frac{8}{x-5}-2=0\ \Longrightarrow\ \frac{8}{x-5}=2\ \Longrightarrow\ 8=2(x-5)\ \Longrightarrow\ x=9,$

   ดังนั้น $x\ne 9$

4. 4

   ทำไมต้องหาข้อจำกัดก่อนจะจัดรูปให้ง่าย ถ้าคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $x-5$ จะได้รูปที่เรียบร้อยกว่า

   $f(x)=\frac{x-5}{8-2(x-5)}=\frac{x-5}{18-2x}.$

   รูปนั้นยังแสดง $x\ne 9$ อยู่ (เพราะ $18-2x=0$ ที่ $x=9$) แต่ข้อจำกัด $x\ne 5$ หายไปสนิท การจัดรูปก่อนแล้วอ่านโดเมนจากนิพจน์ที่จัดรูปแล้ว คือวิธีมาตรฐานที่ทำให้โจทย์แบบนี้ผิด

5. 5

   เขียนโดเมนในรูปสัญกรณ์ช่วง เมื่อเอาจุดโดดสองจุดออกจากเส้นจำนวนจริง จะเหลือช่วงเปิดสามช่วง

   $(-\infty,5)\cup(5,9)\cup(9,\infty).$