จงแก้สมการ x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   หาจุดที่นิพจน์ในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์เปลี่ยนเครื่องหมาย $|x-3|$ มีพฤติกรรมต่างกันสองฝั่งของ $x=3$ เส้นจำนวนจริงจึงแยกออกเป็นสองกิ่งคือ $x\ge 3$ และ $x<3$ ในแต่ละกิ่ง ค่าสัมบูรณ์ถูกแทนด้วยนิพจน์เชิงเส้นธรรมดาได้ เปลี่ยนสมการยาก ๆ หนึ่งข้อให้เป็นสมการกำลังสองธรรมดาสองข้อ

2. 2

   กิ่งที่ 1: $x\ge 3$ ดังนั้น $|x-3|=x-3$ แทนค่าแล้วรวมพจน์

   $x^2+4(x-3)-7x+11=x^2+4x-12-7x+11=x^2-3x-1=0$

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

3. 3

   เก็บเฉพาะรากของกิ่งที่ 1 ที่สอดคล้องกับ $x\ge 3$ จริง ๆ เชิงตัวเลข $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.303\ \ge 3$ (รับ) ส่วน $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.303<3$ (ตัดทิ้ง) ค่าที่ถูกตัดนั้นแก้สมการ ที่เขียนใหม่ ได้ แต่ไม่ใช่สมการเดิม เพราะฝั่งนั้น $|x-3|$ ไม่ได้เท่ากับ $x-3$

4. 4

   กิ่งที่ 2: $x<3$ ดังนั้น $|x-3|=3-x$

   $x^2+4(3-x)-7x+11=x^2-4x+12-7x+11=x^2-11x+23=0$

   $x=\frac{11\pm\sqrt{121-92}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{29}}{2}$

   ในที่นี้ $\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx 2.807<3$ (รับ) และ $\frac{11+\sqrt{29}}{2}\approx 8.193\ \ge 3$ (ตัดทิ้ง)

5. 5

   ตรวจรากที่รอดทั้งสองกับสมการเดิม สำหรับ $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.30278$: $x^2\approx10.9083$, $4|x-3|\approx1.2111$, $-7x\approx-23.1194$ รวมได้ $10.9083+1.2111-23.1194+11\approx 0$ สำหรับ $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.80742$: $x^2\approx7.8816$, $4|x-3|\approx0.7703$, $-7x\approx-19.6519$ รวมได้ $\approx 0$ ผ่านทั้งคู่

6. 6

   รายงานรากทั้งสอง สมการนี้มีคำตอบสองคำตอบพอดี

   $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.807\qquad\text{และ}\qquad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.303$

   มีรากหนึ่งรากอยู่ในแต่ละฝั่งของจุดหัก $x=3$ เป็นเครื่องเตือนใจที่ดีว่าการแยกกรณีนั้นให้รากมาจากทุกกิ่งได้ และมักเป็นเช่นนั้นจริง