จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ในรูปผลคูณ (ก) 27x^3 + y^3 (ข) x^3 - 8y^3 (ค) x^3 + 512 จากนั้นกระจาย (x + 1)(x^2 - x + 1) แล้วอธิบายว่าผลลัพธ์ยืนยันเอกลักษณ์ที่ใช้ได้อย่างไร

Step-by-step solution

1. 1

   จำเอกลักษณ์สองสูตร และที่สำคัญกว่านั้นคือจำ รูปร่าง ของมัน การแยกตัวประกอบกำลังสามทุกครั้งมาจาก

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

   แบบรูปนี้ควรจำเป็นประโยคมากกว่าจำเป็นสัญลักษณ์ ตัวประกอบแรกมีเครื่องหมาย เหมือน โจทย์เดิม (บวกคู่บวก ลบคู่ลบ) ส่วนภายในตัวประกอบกำลังสอง เครื่องหมายตรงกลางเป็นเครื่องหมาย ตรงข้าม ขณะที่สองพจน์ริมเป็นบวกเสมอ กฎข้อเดียวนี้ป้องกันความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด คือการเขียน $a^2-2ab+b^2$ (ซึ่งก็คือ $(a-b)^2$) แทนที่จะเป็น $a^2-ab+b^2$

2. 2

   (ก) ระบุกำลังสามสองก้อนใน $27x^3+y^3$ งานเดียวตรงนี้คือมองให้ออกว่า $27=3^3$ ดังนั้น

   $27x^3=(3x)^3,\qquad y^3=y^3\ \Longrightarrow\ a=3x,\; b=y$

   แทนลงในเอกลักษณ์ผลบวกกำลังสาม

   $27x^3+y^3=(3x+y)\big((3x)^2-(3x)(y)+y^2\big)=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$

   สังเกตว่า $(3x)^2=9x^2$ ไม่ใช่ $3x^2$ การยกกำลังสองทั้งก้อน $3x$ คือจุดที่คำตอบซึ่งเครื่องหมายถูกแล้วมักผิดพลาดในเชิงตัวเลข

3. 3

   (ข) ใช้สูตรฝั่งผลต่างกับ $x^3-8y^3$ ในที่นี้ $8y^3=(2y)^3$ ดังนั้น $a=x$ และ $b=2y$ และต้องใช้เอกลักษณ์ฝั่ง ลบ

   $x^3-8y^3=(x-2y)\big(x^2+x(2y)+(2y)^2\big)=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

   ตัวประกอบกำลังสอง $x^2+2xy+4y^2$ แยกต่อในระบบจำนวนจริงไม่ได้ เพราะเมื่อมองเป็นสมการกำลังสองใน $x$ ดิสคริมิแนนต์เท่ากับ $(2y)^2-4(4y^2)=-12y^2<0$ ข้อนี้เป็นจริงกับตัวประกอบกำลังสองใน ทุก การแยกตัวประกอบกำลังสาม จึงเป็นเหตุผลที่คำตอบมีตัวประกอบสองตัวเสมอ

4. 4

   (ค) มองให้ออกว่า $512$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์ เนื่องจาก $512=8^3$ ให้ $a=x$ และ $b=8$ ในเอกลักษณ์ผลบวกกำลังสาม

   $x^3+512=x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$

   ตรวจเร็ว ๆ ที่พจน์ค่าคงตัว ผลคูณของพจน์ค่าคงตัวต้องให้ค่าคงตัวเดิมกลับมา และ $8\times 64=512$ ✓

5. 5

   กระจาย $(x+1)(x^2-x+1)$ เพื่อมองเอกลักษณ์จากอีกด้าน แจกแจงทีละพจน์

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   ทุกอย่างตรงกลางตัดกันเป็นคู่ ๆ คือ $-x^2$ กับ $+x^2$ และ $+x$ กับ $-x$ เหลือเพียง

   $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$

   นี่คือ $a^3+b^3$ ที่ $a=x$, $b=1$ พอดี การตัดกันนี้คือ เหตุผล ที่เครื่องหมายตรงกลางในตัวประกอบกำลังสองต้องเป็น $-ab$ เพราะมันคือสิ่งที่ล้างพจน์กลางที่เหลือทั้งสองตัวทิ้งไป

6. 6

   ตรวจทุกคำตอบด้วยการคูณกลับหรือแทนค่าทดสอบ วิธีตรวจที่เร็วที่สุดคือแทนตัวเลขที่คำนวณง่าย สำหรับข้อ (ค) ที่ $x=2$: โจทย์เดิมให้ $8+512=520$ ส่วนรูปที่แยกตัวประกอบแล้วให้ $(2+8)(4-16+64)=10\times 52=520$ ✓ การตรวจเชิงตัวเลขข้อละหนึ่งครั้งจับความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายได้แม่นกว่าการนั่งอ่านพีชคณิตซ้ำมาก