จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ (2x + 2)^(1/3) = −4

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านเลขชี้กำลังนี้ให้เป็นรากที่สาม ตามนิยาม $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$ สมการนี้จึงบอกว่า รากที่สามของ $2x+2$ เท่ากับ $-4$ การมีค่าลบอยู่ทางขวาถือว่าถูกต้อง เพราะจำนวนจริงทุกจำนวนมีรากที่สามที่เป็นจำนวนจริงเพียงค่าเดียว รวมถึงจำนวนลบด้วย

2. 2

   ยกกำลังสามทั้งสองข้างเพื่อกำจัดราก การยกกำลังสามเป็นการดำเนินการผกผันของการถอดรากที่สาม

   $\left((2x+2)^{1/3}\right)^3 = (-4)^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 = -64$

   สังเกตว่า $(-4)^3 = -64$ ยังคงเครื่องหมายลบไว้ ต่างจากการยกกำลังสองที่จะทำลายเครื่องหมายทิ้ง

3. 3

   แก้สมการเชิงเส้นที่ได้

   $2x = -64 - 2 = -66 \quad\Longrightarrow\quad x = -33$

4. 4

   ตรวจคำตอบในสมการเดิม แทน $x = -33$ จะได้ $2(-33) + 2 = -64$ และ $(-64)^{1/3} = -4$ ซึ่งตรงกับข้างขวาพอดี

5. 5

   ทำไมข้อนี้ไม่ต้องตรวจคำตอบแปลกปลอม การยกกำลังสามเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนจำนวนจริง จึงไม่เพิ่มและไม่ทำให้คำตอบหายไป นี่คือจุดต่างสำคัญจากสมการที่ติดรากที่สอง ซึ่งการยกกำลังสองทั้งสองข้างอาจสร้างคำตอบปลอมที่ต้องคัดทิ้ง ในข้อนี้ $x = -33$ จึงเป็นคำตอบจริงเพียงค่าเดียว