จงแก้อสมการ (h + 0.9)/√(1 + h²) < h

Step-by-step solution

1. 1

   กำจัดตัวส่วนอย่างปลอดภัย เนื่องจาก $\sqrt{1+h^2} \ge 1 > 0$ สำหรับ $h$ ที่เป็นจำนวนจริงทุกค่า การคูณตลอดจึงไม่พลิกอสมการ

   $h + 0.9 < h\sqrt{1+h^2}$

   จากนั้นแยก $0.9$ ออกมาด้วยการลบ $h$

   $0.9 < h\left(\sqrt{1+h^2} - 1\right)$

2. 2

   ตัด h ≤ 0 ทิ้งได้ทันที วงเล็บสอดคล้องกับ $\sqrt{1+h^2} - 1 \ge 0$ สำหรับ $h$ ทุกค่า ดังนั้นถ้า $h \le 0$ ข้างขวาจะ $\le 0$ ขณะที่ข้างซ้ายคือ $0.9 > 0$ จึงไม่มี $h$ ที่ไม่เป็นบวกตัวใดใช้ได้ การค้นหาลดเหลือเฉพาะ $h > 0$

3. 3

   ยกกำลังสองเมื่อรู้แล้วว่าทั้งสองข้างเป็นบวก สำหรับ $h > 0$ หารด้วย $h$ แล้วบวก $1$

   $1 + \frac{0.9}{h} < \sqrt{1+h^2}$

   ตอนนี้ทั้งสองข้างเป็นบวก การยกกำลังสองจึงเป็นการสมมูล ไม่ใช่การแฝงเป็นนัยทางเดียว

   $1 + \frac{1.8}{h} + \frac{0.81}{h^2} < 1 + h^2$

4. 4

   กำจัดกำลังของ h เพื่อให้ได้สมการกำลังสี่ ลบ $1$ แล้วคูณด้วย $h^2 > 0$

   $1.8h + 0.81 < h^4 \quad \Longrightarrow \quad g(h) = h^4 - 1.8h - 0.81 > 0$

5. 5

   หารากบวกรากเดียวของสมการกำลังสี่ บน $h > 0$ อนุพันธ์ $g'(h) = 4h^3 - 1.8$ เป็นศูนย์ที่ $h = \sqrt[3]{0.45} \approx 0.7663$ เท่านั้น $g$ จึงลดลงแล้วเพิ่มขึ้น เมื่อ $g(0) = -0.81 < 0$ จึงมีรากบวกเพียงรากเดียวพอดี ระเบียบวิธีนิวตันเริ่มจาก $h_0 = 1.34$ ให้

   $h_* = 1.3397213599 \quad (g(h_*) \approx 10^{-39} \ \text{ที่ความละเอียด 40 หลัก})$

   ค่า $1.35082$ ที่มักถูกอ้างถึงนั้นผิด เพราะที่จุดนั้น $g = +0.0881$ ห่างจากศูนย์อยู่มาก

6. 6

   ประกอบเซตคำตอบแล้วตรวจ $g > 0$ เมื่อ $h > h_*$ ดังนั้น

   $h > 1.3397213599\ldots$

   การแทนค่าลงในอสมการเดิมโดยตรงยืนยันขอบเขตนี้ ที่ $h = 1.339$ ข้างซ้ายลบข้างขวาได้ $+0.00075$ (ไม่ผ่าน) ที่ $h = 1.3398$ ได้ $-0.000082$ (ผ่าน) และที่ $h = 1.35$ ได้ $-0.0107$ (ผ่าน) เมื่อปัดเศษแล้วคำตอบคือ $h > 1.3397$