แก้สมการ 3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0

Step-by-step solution

1. 1

   ดึง x ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา ทุกพจน์มี $x$ อยู่:

   $x\left(3x^3 + 8x^2 - 4x - 16\right) = 0$

   ดังนั้น $x = 0$ เป็นรากทันที ส่วนที่เหลือมาจากพหุนามกำลังสาม

2. 2

   อย่าไว้ใจการแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่มในโจทย์นี้ ท่าที่ชวนให้ทำคือ $\left(3x^3 + 8x^2\right) + \left(-4x - 16\right) = x^2(3x+8) - 4(x+4)$ วงเล็บทั้งสองคือ $3x+8$ กับ $x+4$ ซึ่งไม่เหมือนกัน การจัดกลุ่มจึงปิดไม่ลง ถ้าเขียนก้อนที่สองเป็น $-4(3x+8)$ จะหมายถึง $-12x - 32$ ไม่ใช่ $-4x - 16$ ความพลาดตรงนั้นคือที่มาปกติของคำตอบผิด $x = -\tfrac83,\,\pm 2$ ของสมการนี้

3. 3

   หารากตรรกยะของพหุนามกำลังสามแทน ค่าที่เป็นไปได้คือ $\pm\tfrac{d}{e}$ โดย $d \mid 16$ และ $e \mid 3$ ทดสอบ $x = -2$:

   $3(-8) + 8(4) - 4(-2) - 16 = -24 + 32 + 8 - 16 = 0$

   ดังนั้น $(x+2)$ หารพหุนามกำลังสามลงตัว

4. 4

   หารแล้วแยกตัวประกอบผลหาร การหาร $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16$ ด้วย $(x+2)$ ได้ $3x^2 + 2x - 8$ ซึ่งแยกตัวประกอบเป็น $(3x - 4)(x + 2)$ ดังนั้น

   $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16 = (x+2)^2(3x-4)$

   และการแยกตัวประกอบเต็มรูปคือ

   $3x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 16x = x(x+2)^2(3x-4)$

5. 5

   อ่านรากออกมา ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์:

   $x = 0, \qquad x = -2 \ \text{(รากซ้ำสองชั้น)}, \qquad x = \frac{4}{3}$

6. 6

   ตรวจคำตอบ การกระจาย $x(x+2)^2(3x-4)$ ให้สัมประสิทธิ์ $3,\ 8,\ -4,\ -16,\ 0$ กลับมาพอดี แทนค่าโดยตรง: $f(0) = 0$, $f(-2) = 48 - 64 - 16 + 32 = 0$, $f(4/3) = 0$ คลาดเคลื่อนไม่เกิน $10^{-14}$ เนื่องจาก $x = -2$ เป็นรากซ้ำสองชั้น กราฟจึงแตะแกนที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน