ถ้า x = (รากที่สองของ 3 + 1)/(รากที่สองของ 3 - 1) และ y = (รากที่สองของ 3 - 1)/(รากที่สองของ 3 + 1) จงหา x + y, xy, x^2 + y^2, x^3 + y^3 และ 4x^2 + 7xy + 4y^2

Step-by-step solution

1. 1

   ทำตัวส่วนของแต่ละตัวให้เป็นจำนวนตรรกยะก่อน ทุกขั้นตอนถัดไปจะง่ายทันทีเมื่อรากพ้นจากตัวส่วน คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน

   $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

   $y=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$

   สังเกตว่า $x$ กับ $y$ ออกมาเป็นสังยุคกัน และ $y=1/x$ เศษส่วนทั้งสองเป็นส่วนกลับของกันและกันมาตั้งแต่ต้น

2. 2

   คำนวณปริมาณสมมาตรพื้นฐานสองตัว นิพจน์ที่เหลือทั้งหมดสร้างขึ้นจากสองค่านี้ได้ จึงเป็นการคำนวณจริง ๆ เพียงสองครั้งในโจทย์ทั้งข้อ

   $x+y=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$

   $xy=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$

   รากตัดกันหมดทั้งสองกรณี นั่นคือเหตุผลทั้งหมดที่เราทำงานกับ $x+y$ และ $xy$ แทนที่จะทำงานกับ $x$ และ $y$ แยกกัน

3. 3

   หา $x^2+y^2$ จากกำลังสองของผลบวก กระจาย $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ แล้วจัดรูปใหม่

   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2(1)=14.$

4. 4

   หา $x^3+y^3$ จากกำลังสามของผลบวก เนื่องจาก $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$

   $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=4^3-3(1)(4)=64-12=52.$

   (การแยกตัวประกอบ $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4(14-1)=52$ ให้ค่าเดียวกัน เป็นการตรวจซ้ำที่มีประโยชน์)

5. 5

   จัดกลุ่มนิพจน์สุดท้ายใหม่ ให้ใช้แต่ปริมาณที่รู้ค่าแล้ว

   $4x^2+7xy+4y^2=4(x^2+y^2)+7xy=4(14)+7(1)=56+7=63.$

   เคล็ดคือการแยกสัมประสิทธิ์ตรงกลาง จะเขียน $7xy=8xy-xy$ ก็ได้ แต่การดึง $4(x^2+y^2)$ ออกมาตรง ๆ สั้นกว่า

6. 6

   ตรวจเชิงตัวเลข $x=2+\sqrt3\approx3.7320508$ และ $y=2-\sqrt3\approx0.2679492$ จากนั้น $x+y\approx4.000000$, $xy\approx1.000000$, $x^3+y^3\approx51.999999$ และ $4x^2+7xy+4y^2\approx63.000000$ ตรงกับค่าที่แน่นอน