สูตรอาหารใช้ซอส 105 มิลลิลิตรในวันที่ 1 และ 85 มิลลิลิตรในวันที่ 2 ตั้งแต่วันที่ 3 เป็นต้นไป ปริมาณที่ใช้ในแต่ละวันเป็นค่าเฉลี่ยของปริมาณที่ใช้ในสองวันก่อนหน้า จงหาส่วนจำนวนเต็มของปริมาณที่ใช้ในวันที่ 19

Step-by-step solution

1. 1

   ทำงานกับผลต่าง ไม่ใช่กับตัวพจน์ เอา $a_{n-1}$ ลบออกจากความสัมพันธ์เวียนเกิด จะได้

   $a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$

   ผลต่างแต่ละช่วงจึงเป็น $-\tfrac12$ เท่าของผลต่างก่อนหน้าพอดี การเปลี่ยนความสัมพันธ์เวียนเกิดสองพจน์ให้เป็นแบบเรขาคณิตพจน์เดียว คือสิ่งที่ทำให้ไปถึงพจน์ที่ $19$ ได้โดยไม่ต้องไล่เขียนทั้งหมด

2. 2

   เขียนผลต่างออกมาให้ชัด ผลต่างแรกคือ $a_2-a_1=-20$ ดังนั้น

   $a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}$

   เครื่องหมายที่สลับกันคือเหตุผลที่พจน์แกว่งไปมา ($105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots$) แทนที่จะเดินไปทางเดียว

3. 3

   บวกอนุกรมเรขาคณิตเพื่อหาลิมิต บวกผลต่างทั้งหมดตั้งแต่ $a_1$ เป็นต้นไป

   $L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}$

   เทียบเท่ากับ $L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}$ คือค่าเฉลี่ย ถ่วงน้ำหนัก ที่นับพจน์ใหม่กว่าสองเท่า เพราะปริมาณคงตัว $a_{n-1}+2a_n$ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ความสัมพันธ์เวียนเกิด และมัน ไม่ใช่ $2a_2-a_1$

4. 4

   สร้างรูปปิด เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนจาก $L$ หดลงด้วยตัวประกอบ $-\tfrac12$ ทุกก้าว

   $a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}$

   ตรวจที่ $n=2$: $\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85$ ถูกต้อง

5. 5

   แทนค่าที่ $n=19$ เลขชี้กำลัง $18$ เป็นจำนวนคู่ ส่วนแก้จึงเป็นบวก

   $a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672$

6. 6

   หาส่วนจำนวนเต็ม เนื่องจาก $91<a_{19}<92$ ส่วนจำนวนเต็มจึงเป็น $91$ การไล่ความสัมพันธ์เวียนเกิดตรง ๆ ด้วยเศษส่วนที่แน่นอนก็ให้ $a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}$ เช่นกัน ยืนยันรูปปิด