จงแก้อสมการ x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2)

Step-by-step solution

1. 1

   อย่าหารด้วยตัวประกอบร่วม ให้ย้ายมาลบกันแทน การตัด $x^3+1$ ทิ้งจากทั้งสองข้างจะเป็นความผิดพลาดร้ายแรง เพราะไม่ทราบเครื่องหมายของมันและมันเป็นศูนย์ได้ ให้ย้ายทุกอย่างมาข้างเดียวแล้วแยกตัวประกอบ

   $\left(x^3+1\right)\Big[x - \left(x^2-2\right)\Big] > 0 \quad \Longrightarrow \quad \left(x^3+1\right)\left(-x^2+x+2\right) > 0$

2. 2

   แยกตัวประกอบแต่ละก้อนให้สุด ก้อนแรกเป็นผลบวกของกำลังสาม ก้อนที่สองเป็นพหุนามกำลังสองที่สัมประสิทธิ์นำเป็นลบ

   $x^3+1 = (x+1)\left(x^2-x+1\right)$

   $-x^2+x+2 = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$

   ตัวประกอบ $x+1$ ปรากฏในทั้งสองก้อน ซึ่งเป็นหัวใจของโจทย์ข้อนี้

3. 3

   รวบตัวประกอบที่ซ้ำ รวมกันแล้วได้กำลังสอง

   $(x+1)\left(x^2-x+1\right)(2-x)(x+1) = (x+1)^2\left(x^2-x+1\right)(2-x) > 0$

   กระจายกลับที่ $x = 0,\ 3,\ -5,\ \tfrac74$ ให้ $x(x^3+1) - (x^3+1)(x^2-2)$ กลับมาพอดี การแยกตัวประกอบจึงถูกต้อง

4. 4

   แสดงว่าตัวประกอบกำลังสองเป็นบวกเสมอ สำหรับ $x^2 - x + 1$ ดิสคริมิแนนต์คือ

   $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

   และสัมประสิทธิ์นำเป็นบวก ดังนั้น $x^2 - x + 1 > 0$ สำหรับ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทุกค่า (ค่าต่ำสุดคือ $\tfrac34$ ที่ $x = \tfrac12$) จึงตัดออกจากการวิเคราะห์เครื่องหมายได้ทั้งก้อน

5. 5

   ลดรูปเหลือเงื่อนไขเครื่องหมายเดียว เมื่อ $x^2-x+1 > 0$ เสมอ และ $(x+1)^2 \ge 0$ โดยเท่ากับศูนย์เฉพาะที่ $x = -1$ ผลคูณจะเป็นบวกเมื่อ

   $2 - x > 0 \quad \text{และ} \quad x \ne -1$

   กำลังสองไม่ได้พลิกเครื่องหมายใด ๆ แต่มัน เจาะรู เซตคำตอบที่ $x = -1$ ซึ่งผลคูณเป็น $0$ และอสมการแบบเข้มไม่เป็นจริง

6. 6

   เขียนเซตคำตอบแล้วสุ่มตรวจ

   $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2)$

   การทดสอบค่าตรรกยะ $1001$ ค่าที่กระจายจาก $-5$ ถึง $5$ ด้วยเลขคณิตแบบพอดีให้ผลตรงกันทุกจุด สังเกตว่าคำตอบเดียวกันนี้ใช้แก้รูปที่สลับข้างคือ $\left(x^3+1\right)\left(x^2-2\right) < x\left(x^3+1\right)$ ได้ด้วย เพราะเป็นอสมการเดียวกันที่สลับข้างกันเท่านั้น