กำหนด f(x) = 4x − 7, g(x) = 8x² − 2x − 3 และ h(x) = 4x³ + 9x − 2 จงหา (g∘f)(x), (h∘f)(2) และ (f∘h)(x)

Question

กำหนดให้

$f(x) = 4x-7, \qquad g(x) = 8x^2-2x-3, \qquad h(x) = 4x^3+9x-2$

จงหา (ก) $(g \circ f)(x)$ , (ข) $(h \circ f)(2)$ , (ค) $(f \circ h)(x)$

Step-by-step solution

ตกลงเรื่องแบบแผนสัญกรณ์ให้ชัด $(g \circ f)(x)$ หมายถึง $g(f(x))$ คือฟังก์ชันที่อยู่ ขวา ทำงานก่อน การสลับลำดับโดยทั่วไปให้คำตอบต่างกัน และในที่นี้ $(f \circ g)(x) = 32x^2 - 8x - 19$ ซึ่งไม่เหมือนข้อ (ก) เลย
ข้อ (ก): แทน f ลงใน g แทนที่ $x$ ทุกตัวใน $g$ ด้วย $4x-7$

$g(f(x)) = 8(4x-7)^2 - 2(4x-7) - 3$

เมื่อ $(4x-7)^2 = 16x^2 - 56x + 49$ จะได้

$= 128x^2 - 448x + 392 - 8x + 14 - 3 = 128x^2 - 456x + 403$
ข้อ (ข): คิดข้างในก่อน สำหรับการประกอบที่ให้ค่าตัวเลข ไม่จำเป็นต้องสร้างสูตรทั่วไปขึ้นมา

$f(2) = 4(2) - 7 = 1, \qquad h(1) = 4(1)^3 + 9(1) - 2 = 11$

ดังนั้น $(h \circ f)(2) = 11$ ถ้าประกอบเชิงสัญลักษณ์ก่อนก็ต้องกระจาย $(4x-7)^3$ โดยไม่ได้อะไรเพิ่ม
ข้อ (ค): แทน h ลงใน f เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น การประกอบนี้จึงง่าย แค่ขยายแล้วเลื่อน

$f(h(x)) = 4\left(4x^3 + 9x - 2\right) - 7 = 16x^3 + 36x - 8 - 7 = 16x^3 + 36x - 15$
ตรวจคำตอบด้วยตัวเลข ที่ $x = 1.7$ ได้ $f(1.7) = -0.2$ และ $g(-0.2) = 0.32 + 0.4 - 3 = -2.28$ ขณะที่สูตรให้ $128(2.89) - 456(1.7) + 403 = -2.28$ ส่วนข้อ (ค) ที่ $x = -2.3$ ได้ $h(-2.3) = -71.368$ และ $f(-71.368) = -292.472$ ขณะที่ $16(-12.167) + 36(-2.3) - 15 = -292.472$ ตรงกันทั้งสองข้อ
สังเกตแบบแผนของดีกรี การประกอบพหุนามดีกรี $m$ กับดีกรี $n$ ให้ดีกรี $mn$ ในที่นี้ $g \circ f$ ได้ $2 \times 1 = 2$ และ $f \circ h$ ได้ $1 \times 3 = 3$ ตรงกับผลลัพธ์ข้างต้น

Answer

$(g\circ f)(x) = 128x^2 - 456x + 403, \quad (h\circ f)(2) = 11, \quad (f\circ h)(x) = 16x^3 + 36x - 15$

Need to solve a different problem like this? Open the solver →