จงแก้สมการ (5x − 4)² − 49x² = 0

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนพจน์ที่สองให้อยู่ในรูปกำลังสอง เนื่องจาก $49x^2 = (7x)^2$ ข้างซ้ายจึงเป็นผลต่างของกำลังสองสองก้อน

   $(5x-4)^2 - (7x)^2 = 0$

   การมองเห็นจุดนี้ช่วยเลี่ยงการกระจายเป็น $25x^2 - 40x + 16 - 49x^2 = -24x^2 - 40x + 16$ แล้วต้องหารตลอด การแยกตัวประกอบสั้นกว่าและพลาดยากกว่า

2. 2

   ใช้เอกลักษณ์ A² − B² = (A − B)(A + B) เมื่อ $A = 5x - 4$ และ $B = 7x$

   $\bigl((5x-4) - 7x\bigr)\bigl((5x-4) + 7x\bigr) = 0$

3. 3

   จัดรูปวงเล็บแต่ละก้อน

   $(5x - 4) - 7x = -2x - 4, \qquad (5x - 4) + 7x = 12x - 4$

   สมการจึงเป็น

   $(-2x - 4)(12x - 4) = 0$

4. 4

   ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์กับตัวประกอบแต่ละตัว

   $-2x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = -2$

   $12x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

5. 5

   ตรวจรากทั้งสองในสมการเดิม ที่ $x = -2$ ได้ $(-10-4)^2 - 49(4) = 196 - 196 = 0 \ \checkmark$ ที่ $x = \tfrac13$ ได้ $\left(\tfrac53 - 4\right)^2 - 49\cdot\tfrac19 = \tfrac{49}{9} - \tfrac{49}{9} = 0 \ \checkmark$ ทั้งสองค่าสอดคล้องพอดี และสมการกำลังสองมีรากได้มากที่สุดสองราก เซตคำตอบจึงครบถ้วน