แก้สมการกำลังสอง 40x² + 98x − 33 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   คำนวณดิสคริมิแนนต์ก่อนทำอย่างอื่น เมื่อ $a=40$, $b=98$, $c=-33$

   $\Delta=b^2-4ac=98^2-4(40)(-33)=9604+5280=14884$

   สัมประสิทธิ์นำเท่ากับ $40$ ทำให้การลองผิดลองถูกในการแยกตัวประกอบทรมานมาก จึงคุ้มที่จะเสียหนึ่งบรรทัดคำนวณ $\Delta$ เพื่อดูว่ามีตัวประกอบสวย ๆ อยู่จริงหรือไม่

2. 2

   สังเกตว่า 14884 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดึงตัวประกอบ $4$ ที่เห็นชัดออกมา:

   $14884=4\cdot 3721,\qquad \sqrt{14884}=2\sqrt{3721}=2\cdot 61=122$

   เพราะ $61^2=3721$ ดิสคริมิแนนต์ที่เป็นกำลังสองรับประกันว่ามีรากตรรกยะสองราก ซึ่งก็รับประกันต่อไปว่าแยกตัวประกอบบนจำนวนเต็มได้สะอาด

3. 3

   แทนค่าลงในสูตรกำลังสอง

   $x=\frac{-98\pm 122}{2\cdot 40}=\frac{-98\pm 122}{80}$

   ทั้งสองกิ่งลดรูปเป็นเศษส่วนง่าย ๆ ไม่ใช่ทศนิยม

4. 4

   ลดทอนรากแต่ละตัว

   $x=\frac{-98+122}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10},\qquad x=\frac{-98-122}{80}=\frac{-220}{80}=-\frac{11}{4}$

   ต้องลดทอนเสมอ เพราะทั้ง $24/80$ และ $-220/80$ ต่างซ่อนตัวประกอบร่วมอยู่

5. 5

   อ่านการแยกตัวประกอบออกมาแล้วตรวจ ราก $3/10$ กับ $-11/4$ สอดคล้องกับตัวประกอบ $(10x-3)$ และ $(4x+11)$ และสัมประสิทธิ์นำของทั้งคู่คูณกันได้ $10\cdot 4=40$:

   $(10x-3)(4x+11)=40x^2+110x-12x-33=40x^2+98x-33$

   พจน์กลางประกอบกลับมาเป็น $98x$ ทั้งรากและรูปที่แยกตัวประกอบแล้วจึงได้รับการยืนยัน